Решение задач: две степени свободы

39. 1 способ. Рассматриваемая система (рис. 3.46) имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат, описывающих положение системы, возьмем углы  и . Уравнения движения системы будем составлять так, чтобы они не содержали неизвестных сил реакции связей .

Главный момент внешних сил , поэтому составляющая кинетического момента . Кинетический момент . Взяв в качестве переносного движения стержня поворот вокруг оси  плоскости , а в качестве относительного – движение стержня в этой плоскости, найдем, что

.

Кинетический момент стержня относительно центра масс

.                                           (3.57)

Расположение связанных осей  показано на рис. 3.46. Моменты инерции . Угловая скорость также находится по теореме сложения

.                                                          (3.58)

Учитывая (3.57) и (3.58), получим  , и

.

В начальный момент времени , т.е. , и

.                                                                       (3.59)

Так как работу совершает только консервативная стационарная сила тяжести, то выполнен закон сохранения механической энергии

.                                                           (3.60)

Кинетическая энергия . Для скорости центра масс , и . Потенциальная энергия . Подстановка последних выражений в (3.60) с учетом начальных условий даст

                .                                    (3.61)

Условие отрыва стержня от плоскости  соответствует обращению в ноль реакции пластины . По теореме о движении центра масс . Так как , то

.                                               (3.62)

Согласно (3.59): , учитывая это из (3.61) получим

.

Дифференцированием последнего выражения по времени получим

.

Подставляя найденные выражения в (3.62) получаем для реакции опоры

При  , и отрыв наступает в начальный момент времени. При  реакция опоры обращается в ноль при значении угла : , т.е. .

Отрыв произойдет при : .

2-й способ. Уравнение Лагранжа второго рода по обобщенной координате  имеет вид . Следовательно , что сразу дает (3.59). Далее ход решения из первого способа повторяется.

Ответ: если , то ; если , то

.

40. В качестве обобщенных координат рассматриваемой системы с двумя степенями свободы (рис. 3.47) возьмем координату  и угол . Внешние силы тяжести и реакции плоскости вертикальны, составляющая их главного вектора , и составляющая импульса системы . Но . Так как     ,, то составляющие скорости

, . В момент падения на плоскость угол , и , т.е. .

Так как работу совершают только консервативные силы тяжести, то выполнен закон сохранения полной механической энергии системы

.                                                           (3.63)

Кинетическая энергия стержней

.

Координаты центров масс , ; составляющие скорости

 , . .

Моменты инерции . Поэтому в момент полного соприкосновения стержней с плоскостью кинетическая энергия системы

.

Потенциальная энергия системы .

Подстановка найденных выражений в (3.63) в момент полного соприкосновения стержней и плоскости даст , т.е.

,

и , .

Ответ: .

41. В качестве обобщенных координат рассматриваемой системы с двумя степенями свободы (рис. 3.48) возьмем координату  и угол . Работу при качении без проскальзывания совершает только консервативная стационарная сила тяжести стержня, и выполнен закон сохранения полной механической энергии

.                                                           (3.64)

Кинетическая энергия системы . Для диска

 .

Для стержня . Скорость , т.е.

.

Момент инерции стержня , угловая скорость стержня , и , .

Потенциальная энергия системы . Подстановка найденных выражений в (3.64) даст

.                                (3.65)

Еще один первый интеграл системы следует из уравнения Лагранжа второго рода по координате . Действительно , и поэтому . Так как , то с учетом начальных условий

.                                                                    (3.66)

В момент удара точки В о плоскость угол , и совместное решение уравнений (3.65) и (3.66) даст для этого момента времени , . Скорость точки В . Для составляющих в момент удара о плоскость

     

Ответ: .

42. Рассматриваемая система с голономными идеальными связями (рис. 3.49)  имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат возьмем . Составим уравнения Лагранжа второго рода для этой системы

 .

Кинетическая энергия системы . Для цилиндра

.

Для стержня  (при плоскопараллельном движении). Координаты центра масс стержня

Так как , то составляющие скорости

     

и .

Момент инерции стержня , угловая скорость , и

.

Для всей системы

.

Виртуальная работа сил, приложенных к системе

Обобщенные силы

Для составления уравнения малых колебаний можно подставить полученные выражения в уравнения Лагранжа и далее провести их линеаризацию в окрестности положения равновесия. Но в этой задаче более рационально приближенно представить кинетическую энергию системы в окрестности положения равновесия  с точностью до членов второго порядка малости по отношению к отклонениям от положения равновесия, а далее полученное приближенное выражение кинетической энергии подставить в уравнения Лагранжа. Такие действия эквивалентны их линеаризации. Тогда . Обобщенные силы в окрестности положения равновесия , . Уравнения малых колебаний принимают вид