29)1)Если f(x) непрерывна в точке x0 и если 1)x<x0, f ‘(x)>0(f ‘(x)<0); 2)x>x0, f ‘(x)<0(f ‘(x)>0), то т.x0 – т.max(min); 2)Если f(x) в т.x0 удовлетворяет след.условиям: 1)f ‘(x)=0; 2)f ‘’(x)сущ.и непрерывна в нек.окрестности x0; 3)f ‘’(x0)>0, то x0-т.min f(x)
30)Пусть y=f(x) дважды дифференцируема на (a,b) и f ‘’(x)<0(f ‘’(x)>0) для любого x€(a,b), тогда график функции y=f(x) выпуклый(вогнутый) на (a,b). Достаточным условием существования точек перегиба является смена знака у f ‘’(x) при переходе через подозрительную точку.
С доказательствами:
1)Т:Если f(x)-б/м в т.x0(x->∞), то 1/f(x)-б/б в т.x0(x->∞).Дано:(Vε>0)(сущ.δ>0)(0<|x-x0|<δ=>|f(x)|<ε). Доказать:(VM>0)(сущ.δ>0) (0<|x-x0|<δ=>|1/f(x)|>M). Док-во:|f(x)|<ε=>|1/f(x)|>1/ε=M,чтд. Т:Если функция f(x) имеет предел в т.x0, то она ограничена в окрестности этой точки.Дано:(Vε>0)(сущ.δ>0)(0<|x-x0|<δ=>|f(x)-A|<ε). Доказать:|f(x)|≤M. Док-во:ε>|f(x)-A|≥|f(x)|-|A|=>|f(x)|<|A|+ε=M,чтд.
2)Сумма конечного числа б/м есть б/м.Дано:α(x),β(x)-б/м. Док.:α(x)+β(x)-б/м. Док-во:α(x)-б/м в т.x0ó(Vε>0)(сущ.δ1>0)(0<|x-x0|<δ1)=> |α(x)|<ε); β(x)-б/м в т.x0ó(Vε>0)(сущ.δ2>0)(0<|x-x0|<δ2=>|β(x)|<ε; δ=min(δ1,δ2); 0<|x-x0|<δ=>|α(x)|<ε&|β(x)|<ε; |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε+ε=2ε. Произведение б/м функции на ограниченную есть б/м. Дано:α(x)-б/м в т.x0,f(x)-ограниченная в т.x0. Док.:α(x)f(x)-б/м в т.x0. Док-ть:α(x)-б/м в т.x0ó(Vε>0)(сущ.δ>0)(0<|x-x0|<δ=>|α(x)|<ε; f(x)-огранич.в т.x0ó(сущ.M>0)(0<|x-x0|<δ=> |f(x)|<M); |α(x)f(x)|=|α(x)||f(x)|<εM=ε1.
3)T(прямая):Если lim(x-x0)f(x)=A, то f(x)=A+α(x), где α(x)-б/м в точке x0. Док-во: Это значит, что при достаточно близких к x0 x, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε=>|α(x)|<ε=>α(x)-б/м в т.x0. f(x)-A=α(x)-б/м=>f(x)=A+α(x). Т(обратная):Если f(x) можно представить как сумму нек.числа A+α(x), где α(x)-б/м в точке x0, то lim(x->x0)f(x)=A. Док-во:α(x)=f(x)-A; ε>|α(x)|=|f(x)-A|=>|f(x)-A|<ε=>lim(x->x0)f(x)=A.
4)Если lim(x->x0)g(x)=A и lim(x->x0)h(x)=A и g(x)≤f(x)≤h(x), то lim(x->x0)f(x)=A. Док-во: lim(x->x0)g(x)=Aó(Vε>0)(сущ.δ1>0)(0<|x-x0|<δ1=>|g(x)-A|<ε); lim(x->x0)h(x)=Aó(Vx>0)(сущ.δ2>0)(0<|x-x0|<δ2=>|h(x)-A|<ε); δ=min(δ1,δ2); как только x попадает в δ-окрестность т.x0, так будут выполняться два неравенства: A-ε<g(x)<A+ε; A-ε<h(x)<A+ε. A-ε<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+ε=>|f(x)-A|<ε.
5)Предел алгебраической суммы определённого числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных. Док-во:
Предел произведения определённого числа переменных равен произведению пределов этих переменных. Док-во:
6)Если lim(x->x0)U(x)=B и lim(x->x0)y(U)=A, то lim(x->x0)y(U(x))=A. Док-во: lim(U->B)y(U)=Aó(Vε>0)(сущ.γ>0)(|U-B|<γ=>|y(U)-A|<ε); lim(x->x0)U(x)=Bó(Vγ>0)(сущ.δ>0)(|x-x0|<δ=>|U(x)-B|<γ); (Vε>0)(сущ.δ>0)(|x-x0|<δ=>|y(U(x))-A|<ε=>lim(x->x0)y(U(x))=A
7)lim(x->0)sinx/x=1.(рис) Док-во:1)0<x<x/2; SOAB<SсектOAB<SOCB; 1/2sinx<1/2x<1/2tgx; cosx<sinx/x<1; lim(x->0)cosx=1=>lim(x->0)sinx/x=1. 2)x<0; lim(x->-0)sinx/x; x=-t; =lim(t->+0)sin(-t)/-t=lim(t->+0)sint/t=1
8)Если б/м α~б/м α1 и б/м β~б/м β1, то limα/β=limα1/β1. Док-во:limα/β=lim(αα1β1)/(α1ββ1)=limα/α1(=1)*limβ1/β(=1)*limα1/β1,чтд. Для того, чтобы α было ~β, необходимо и достаточно, чтобы α-β=0(α)(α-β=0(β)). Необходимо:дано:α~β;док:lim(α-β)/α=0. Док-во:lim(α-β)/α=lim(1-β/α)=0. Достаточно:дано:α-β=0(α), т.е.lim(α-β)/α=0;док.:α~β, т.е.limα/β=1. Док-во:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.