16)Функция f(x) в т.x0 имеет max(min),если существует окрестность в этой т.,во всех т. которой f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)). Необх.:Если функция f(x) имеет max в т.x0, то f ‘(x) либо=0, либо не сущ.
17)Кривая называется выпуклой(вогнутой) в некотором интервале (a,b), если все её точки лежат ниже(выше)касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b) этой кривой.(x0;f(x)) называется точкой перегиба кривой, если слева кривая вогнута(выпукла), а справа выпукла(вогнута). Т.перегиба следует искать там, где f ‘’(x)=0, это необходимое условие сущ.перегиба. А достаточным условием является смена знака у f ‘’(x) при переходе через подозрительную точку.
18)Асимптотой кривой назыв.прямая, к которой неограниченно приближается т.кривой при удалении её в бесконечность. Для того, чтобы вертикальная асимптота сущ.в т. А, хотя бы один из односторонних пределов должен равняться ∞. y=kx+b. k=lim(x->±∞)f(x)/x; b=lim(x->±∞)(f(x)-kx)
19) lim(x->x0)f(x)= ∞ó(VM>0)(сущ.δ>0)(0<|х-x0|<δ =>|f(x)|>M); lim(x->x0)f(x)=0ó(Vξ>0)(сущ.δ>0)(0<|х-x0|<δ =>|f(x)|<ξ). Свойства: 1)сумма конечного числа б/м есть б/м;2)Произведение б/м функций на ограниченную есть б/м.
20) Функция называется б/м в точке х0, если lim(x->x0)f(x)=0ó(Vξ>0)(сущ.δ>0)(0<|х-x0|<δ =>|f(x)|<ξ). Свойства:1)сумма конечного числа б/м есть б/м;2)Произведение б/м функций на ограниченную есть б/м.
21)lim(x->x0)f(x)=Aó(Vε>0)(сущ.δ>0)(0<|x-x0|<δ=>|f(x)-A|<ε). Для того, чтобы сущ.предел функции в т., необходимо, чтобы сущ.оба односторонних предела функции в точке и чтобы они были бы равны между собой.
22)1)Если lim(x->x0)f(x)=A и lim(x->x0)φ(x)=B, то lim(x->x0)(f(x)+φ(x))=lim(x->x0)f(x)+lim(x->x0)φ(x).2)Если lim(x->x0)f(x)=A и lim(x->x0)φ(x)=B, то lim(x->x0)(f(x)φ(x))=lim(x->x0)f(x)*lim(x->x0)φ(x);3)Если lim(x->x0)f(x)=A и lim(x->x0)φ(x)=B≠0, то lim(x->x0)(f(x)/φ(x))=lim(x->x0)f(x)/lim(x->x0)φ(x)
23)Если отношение двух бесконечно-малых β/α стремится к единице, т.е. limα/β=1, то бесконечно малые β и α называют эквивалентными бесконечно малыми. Теоремы:1)Если б/м α~б/м α1 и б/м β~б/м β1, то limα/β=limα1/β1;2)Для того, чтобы α было ~ β, необходимо и достаточно, чтобы α-β=0(α)(α-β=0(β))
24)Если ф. имеет в т.x производную, то она непрерывна в этой т.. Для того, чтобы ф. f(x) была дифференцируемой в т.x, необходимо и достаточно, чтобы в этой т.сущ.её производная.
25)Ф. y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если приращение в этой точке ∆y можно представить как ∆y=A∆x+α(∆x), где А-нек.постоянная, а α(∆x)-б/м при ∆x->0, более высшего порядка, чем ∆x. При ∆x->0,∆y и dy – эквивалентные б/м. lim(∆x->0)∆y/dy=1. lim(∆x->0)(f ‘(x)∆x+α∆x)/( f ‘(x)∆x)=lim(∆x->0)(1+α/f ‘(x))=1. Таким образом при достаточно малом ∆x,∆y≈dy. f(x0+∆x)-f(x0)≈f ‘(x0)∆x; f(x0+∆x)≈ f(x0)+f‘(x0)∆x
26) Если ф. f(x) 1)непрерывна на отрезке [a,b], 2)дифференцируема на (a,b), 3)f(a)=f(b), то сущ. точка С€(a,b), такая что f’(С)=0 (рис)
Если функция f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема в (a,b), то найдётся такая точка с€(a,b), что f ’(с)=(f(b)-f(a))/(b-a). Геометр.смысл: правая часть этого равенства есть tg угла наклона к оси x хорды, стягивающей точки (a;f(a))и(b;f(b))графика функции y=f(x), а правая часть есть tg угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке c€(a,b)(рис)
27) 0/0 и ∞/∞. Пусть f(x) и φ(x) 1)дифференцируемы в окрестности т.a(не обязательно в т.a); 2)lim(x->a)f(x)=lim(x->a)φ(x)=0; 3)сущ.lim(x->a)f ‘(x)/φ’(x), тогда сущ.lim(x->a)f(x)/φ(x)=lim(x->a)f ‘(x)/φ’(x). Если f ‘(x) и φ’(x) удовлетворяют условиям правила Лопиталя, то его можно применить ещё раз. 0*∞: lim(0*∞)=lim(0/∞-1)=lim(0/0); ∞-∞: lim(f(x)-φ(x))=lim(1/(1/f(x))-1/(1/φ(x)))=lim((1/φ(x)-1/f(x))/(1/f(x)φ(x))=(0/0)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.