Циклический алгоритм исследования. Типы измерений и характер ошибок в них. Обработка и анализ экспериментальных данных, страница 8

Обычно для получения доверительной оценки истинного значения измеряемой величины рассчитывают ширину доверительного интервала Δ при заданной надежности  γ  (довери-тельной  вероятности).          

 Как это делается?

Ширина доверительного интервала Δ это и есть ни что иное как суммарная погрешность измерения DS, которая, как уже обсуждалось ранее, чаще всего состоит из двух погрешностей: систематической DС и случайной DСЛ. Рассмотрим расчет DS для случаев прямых и косвенных измерений.

I.  Расчет DS для прямого измерения

1.1 Расчет систематической ошибки DС для прямого измерения

При суммировании всех составляющих систематической погрешности (δі) они рассматриваются как случайные величины. Если данные о виде их функции распределения отсутствуют, то их принимают за равномерные, при которых вероятность появления данной величины постоянна на всем интервале значений. Поэтому суммарную систематическую ошибку рассчитывают по формуле:

В простейшем случае, когда учитывается только одна погрешность средств измерений δср.изм :

gn – приведенная погрешность прибора (класс точности);

А – верхний предел измерения прибора.

   1.2 Расчет DСЛ для прямого измерения

Случайная ошибка DСЛ рассчитывается как ошибка выборки из n измерений по формуле, которая упоминалась уже ранее:

.

Т.о., чтобы определить случайную ошибку нам нужно для заданной надежности a найти коэффициент tna (по специальным таблицам t–распределения Стьюдента) и по результатам n измерений рассчитать среднеквадратическое отклонение S по известной формуле:

.

После того как  систематическая и случайная ошибки определены, необходимо произвести их сравнение. Если DС и DСЛ сопоставимы, т.е. отличаются не более чем на порядок, то DS определяется как сумма DС и DСЛ. Если DС << DСЛ или наоборот, то несущественной величиной пренебрегают, и вместо DS записывают одну из погрешностей (существенную величину).

Примечание: значения DСЛ и DС необходимо определять при одном и том же значении вероятности.

II.      Расчет DS для косвенного измерения

Для косвенных измерений принимается приближение D2S = Д(y), т.е. D2S равна дисперсии функции y = f(x). Как отмечалось ранее, дисперсии функций случайных величин рассчитываются по формуле:

.

Где  - суммарные погрешности прямых измерений вычисляемые по п.1.1 – 1.2 и включающие как случайную так и систематическую составляющие.

Определение суммарной погрешности для прямых и косвенных измерений можно рассматреть на примере расчета электрического сопротивления R (Ом), измеряя ток (I, A) и напряжение (U, В) (см. таблицу).

                                                                                                             Таблица

Расчет суммарной погрешности для прямого и косвенного измерения

Фактор хi

Номер опыта j

Ошибка D

Значе

ние откли

ка

Y

1

2

n

Случайная

Систематическая

Суммарная

Прямые измерения

X1

X11

X12

X1n

Dx1сл

Dx

Dx1S

(I, A)

X2

X21

X22

...

X2n

Dx2сл

Dx

Dx2S

(U, B)

...

...

...

...

...

...

Xm

Xm1

Xm2

...

xmn

Dxmсл

Dxmс

DxmS

Косвенные

Y

Y1

Y2

...

Yn

(R, Ом) R = U / I

Окончательно результат измерения или истинное значение измеряемой величины В представляется в виде:

, вероятность Р = g.

В общем случае В – символ примеряемой величины,  - ее точечная оценка (результат измерения вычисленный по формуле), D = DS - суммарная погрешность.

Примечания:

(1) Формулы для расчета теоретического среднего  и ошибки выборки DСЛ даны для нормального закона распределения; (2) границы погрешностей записывают не более чем с двумя значащими цифрами; (3) округляют границы погрешностей всегда в большую сторону. Например, если D = 0,837, то результат пишут как а = 2,54 ± 0,84.