Вычисление максимума (минимума) скалярной целевой функции. Структура оптимизатора целевой функции (Глава 11 Методики применения пакета Mathcad для решения научных и типовых общетехнических задач), страница 2

где озх – оптимальное значение вектора х, дающее оптимум (минимум или максимум) скалярной функции f(х); А, Аeq – матрицы; х, b, beq, 0, Lb, Ub – векторы; C(x), Ceq(x) – нелинейные векторные функции ограничений, соответственно, неравенств и равенств. Размерности матриц, векторов и векторных нелинейных функций определяются постановкой задачи и могут отличаться друг от друга.

Если в постановке задачи присутствуют ограничения (равенства или неравенства), то они записываются в Операционном блоке.

Операционный блок вместе с записями в виде присваиваний оптимизируемой функции, начальных значений оптимизирующих переменных (или вектора), векторного результата оптимизации и оптимального значения оптимизируемой функции является Оптимизатором для заданной функции.

 (11.1)            

 

                                                                                                                                                                           (11.2)

                                                                                                                                                                           (11.3)

Рис. 11.1. Вычисление максимума функции у1 (11.1) в скалярном виде                                                                     при наличии ограничений (11.2): неравенств (1), равенства (2) и ограничения области поиска снизу (3). Оптимизирующий вектор О и максимальное значение функции у1 – (11.3)

 

(11.4)

(11.5)

.                   

(11.6)

(11.7)

Рис. 11.2.  Вычисление максимума линейной функции у4(х) (11.5) в векторном виде с исходными данными А при наличии ограничений (11.6). Б – максимизатор, вычисляющий значение максимизирующего вектора при ограничениях неравенствах и равенствах и нижней границе области поиска; В – значение максимизирующего вектора х, поименованного как о1; Г – максимальное значение функции у4(х) при х = о1

На рис. 11.1 представлены: присвоение (11.1) для выражения оптимизируемой функции в скалярном виде, максимизатор (11.2), результаты вычисления максимизирующего значения переменных (вектор О) и максимальное значение функции у1(11.3).

Оптимизация линейной функции в векторном виде – на рис. 11.2. Цифровые обозначения: 1 – вектор коэффициентов (а) целевой функции у4(х) и вектор начальных значений (х) оптимизирующего вектора; 2 – матрица коэффициентов (с) и вектор (b) правых частей ограничений-неравенств 6; 3 – матрица коэффициентов (се) и вектор (bе) правых частей ограничений-равенств 6; 4 – вектор верхней границы области поиска максимума; 5 – выражение целевой функции в виде скалярного произведения двух векторов; 6 – выражения ограничений неравенств и равенств в виде матрично-векторного произведения; 7 – векторные неравенства соответственно для нижней и верхней границ области поиска максимума.