Учебно-методический комплекс дисциплины «Математические основы теории сигналов», страница 4

                                                                                                      ()

Можно показать, что база сигнала выражается числом, то есть она не зависит ни от каких параметров его временной  либо частотной  характеристик. База сигнала зависит лишь от его формы и, потому, меняется от одного сигнала к другому, оставаясь всегда величиной порядка единиц для сигналов любой формы.

База сигнала определяет противоречивые требования к сигналу. С одной стороны, длительность  сигнала должна быть по возможности малой для увеличения количества информации, передаваемой в единицу времени. С другой стороны, спектр сигнала  должен быть заключен, по возможности, в узкой полосе частот , так как, иначе, возрастают требования к каналу связи (технические, эксплуатационные, стоимостные и т.п.).

При этом известно положение о том, что чем более коротким является импульс во времени (–мало), тем шире его спектр ( пропорционально возрастает). Иными словами, нельзя одновременно получить малые значения сомножителей , , определяющих базу  и, таким образом, малое значение базы в целом. То есть речь может идти лишь о выборе таких импульсов , у которых произведение () будет приемлемым.

И, наконец, последняя в этом разделе тема – сигналы с ограниченным спектром (СОС). Существо вопроса заключается в том, что представления сигналов в виде рядов (ОРФ), (РФ), (КРФ) и им подобных, не может быть реализовано принципиально по целому ряду причин. То есть на практике используются сигналы, спектральные характеристики которых ограничены определенным конечным диапазоном частот . Такие сигналы, называемые СОС, обладают рядом особых свойств, главное из которых заключается в том, что они могут быть восстановлены на основании своих дискретных значений , если частота , с которой следуют эти значения , удовлетворяет условию [2, стр.116; 4(2), стр.139-144]

                                                 .

В этом смысл теоремы В.А. Котельникова, устанавливающей минимальное значение  частоты съема выборок  для СОС, по которым может быть восстановлен этот сигнал, спектр которого является, вообще говоря, непрерывным. Подчеркнем особо это обстоятельство, поскольку общее положение таково, что в силу преобразования () сигналы с непрерывным спектром могут быть восстановлены с помощью интеграла, а не ряда Котельникова, как это устанавливается данной теоремой. Теорема В.А. Котельникова имеет многочисленные следствия фундаментального и прикладного характера, из которых в курсе рассматривается лишь аппроксимация с помощью СОС произвольных непрерывных вещественных сигналов, спектр которых неограничен [2, стр.119].

  II.  Спектральный анализ дискретных сигналов

Решетчатые функции и модулированные импульсные последовательности как две математические модели дискретных сигналов. Определение спектральной плотности модулированной импульсной последовательности (МИП).

Восстановление непрерывного сигнала по его МИП. Восстановление спектральной плотности непрерывного сигнала по его МИП.

Дискретный ряд Фурье (ДРФ), варианты ДРФ. Периодичность по частоте спектральных плотностей дискретных сигналов.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Основные свойства прямого и обратного дискретного преобразования Фурье. Геометрическая иллюстрация ДПФ. Восстановление непрерывного сигнала по его ДПФ. Дискретная свертка в ДПФ. Понятие о быстром преобразовании Фурье.

- преобразование и его свойства. Применение - преобразования к решению линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Методические указания

Частотно-временные свойства сигналов по-прежнему остаются основной темой курса, теперь уже при рассмотрении дискретных сигналов.

Вначале рассматриваются две основные математические модели процесса дискретизации непрерывных сигналов. Обе эти модели основаны на операции произведения непрерывного сигнала  и совокупности - функций, заданных в виде суммы [2, стр.374-375]