Учебно-методический комплекс дисциплины «Математические основы теории сигналов», страница 8

                                    ,                                     (КР)

где  – некоррелированные случайные величины с нулевыми средними,  – неслучайные линейно независимые функции аргумента ,  – математическое ожидание сигнала .

Из разложения (КР) следует, что каноническое разложение сигнала  есть, по сути, обобщение ряда Фурье на область случайных сигналов, где некоррелированные случайные величины ,  и функции ,  играют роль базисов в пространствах случайных событий и регулярного переменного  соответственно.

При этом в отношении случайного сигнала  имеют место следующие результаты:

1.  Корреляционная функция  сигнала  имеет вид [5, стр.266]

                                     ,                                (КРКФ)

где  – дисперсии случайных величин . При этом говорят, что каноническое разложение (КР) сигнала  соответствует каноническому разложению  его корреляционной функции.

Имеет место и обратное утверждение, то есть, если КФ какого-либо сигнала  представима в виде (КРКФ), то центрированный случайный сигнал  имеет вид (КР), то есть

                                    ,

где случайные величины  имеют своими дисперсиями числа  из разложения (КРКФ).

2.  Если случайный сигнал , представленный своим разложением (КР), преобразуется линейной динамической системой с оператором  в сигнал , то есть имеет место преобразование

                                           ,

то для сигнала  также получаем каноническое разложение [5, стр.282-283]

                                    ,                                    (КР)

где , ,  Откуда следует, что преобразованию  подвергается лишь регулярные составляющие сигнала . Очевидно также, что корреляционная функция сигнала  имеет вид

                                  .                             (КРКФ)

Дальнейшее существенное упрощение в определении преобразований случайного сигнала  и оценок таких преобразований имеет место для частного случая сигналов , которые являются стационарными случайными сигналами. Рассматривается стационарность в широком смысле, когда для сигнала  выполняются следующие условия [5, стр.306-307]:

                , , ,

причем главным условием является зависимость корреляционной функции такого процесса от разности аргументов , то есть фактически от одного аргумента .

В этом случае, приняв каноническое разложение сигнала  в виде [5, стр.331-335]

получаем (КРКФ) такого сигнала  в виде

                                       ,                                      ()

причем дисперсии  случайных величин , , то есть , оказываются коэффициентами Фурье в разложении корреляционной функции . Таким образом, получаем [5, стр.333]

                             .

Отсюда непосредственно следует, что, зная корреляционную функцию  какого-либо стационарного сигнала , можем получить дисперсии  случайных величин ,  его канонического разложения. Более того, из равенства  и формулы () следует [5, стр.333]

                                                ,

то есть дисперсия сигнала  равна сумме дисперсий составляющих его гармоник.

Наряду с аналогом ряда Фурье регулярных сигналов для стационарных случайных сигналов с помощью преобразования Фурье вводится аппарат спектральных плотностей. Так, для корреляционной функции  сигнала  введением спектральной плотности [5, стр.335-337]

получают пару функций частоты –  и времени –

                                 ,

представляющих собой прямое и обратное косинус-Фурье преобразование. Таким образом, наряду с рядами Фурье, введение непрерывных спектральных преобразований создает основу спектрального анализа стационарных случайных сигналов, аналогичную спектральному анализу регулярных сигналов.