Задания на практические работы по дисциплине «Моделирование систем», страница 5

Решение: Простейшие потоки обладают  свойством ординарности, которое заключается в том, что все события происходят поодиночке. Поэтому одновременно может произойти только один отказ или одно восстановление.

Определим три состояния марковской цепи:

-  состояние s₀ – оба узла, входящие в устройство, исправны;

-  состояние s₁ – один из узлов отказал;

-  состояние s₂ – оба узла, входящие в устройство, отказали.

Граф марковской цепи приведен на рис.11.

 

Рисунок 11

Такой граф называется схемой «гибели-размножения». В нем между собой связаны только соседние состояния.

Смена состояний описывается дифференциальными уравнениями Колмогорова. В  системе дифференциальных уравнений неизвестными являются вероятности нахождения марковского процесса в различных состояниях p_i(t). Для каждого состояния строится одно дифференциальное уравнение первого порядка, в левой части которого записывается производная данной вероятности по времени dp_i(t)/dt, а в правой части записываются потоки вероятностей. Под потоком вероятности понимается произведение вероятности нахождения процесса в  некотором состоянии на интенсивность перехода в данное состояние или выхода из него. Со знаком «плюс» записываются потоки вероятностей, входящие в состояние. Со знаком «минус» берутся потоки вероятностей, выходящие из состояния. Таким образом, формируется система из n уравнений с n неизвестными.

Построим систему дифференциальных уравнений для данной задачи:

Данная цепь является эргодической. При длительном ее функционировании может наступить стационарный режим, при котором вероятность нахождения процесса в различных состояниях не зависит от начального состояния процесса.

Определим вероятности нахождения марковского процесса в различных состояниях, если наступил стационарный режим и известны значения интенсивностей потока отказов и потока восстановления:

λ = 10^-2 1/ч, μ = 10^-1 1/ч.

Данное уравнение дополнено уравнением нормировки для того, чтобы оно имело нетривиальное решение. Тогда можно определить вероятности нахождения процесса в различных состояниях в стационарном режиме:

Следовательно, вероятность того, что устройство откажет, практически равна нулю. Поэтому можно считать, что принятая схема резервирования обеспечивает высокую надежность устройства.

Задача 2.6 Рассмотрим условия предыдущей задачи для случая, когда используется схема холодного резервирования. Резерв включается только в  том случае, когда отказывает узел, работающий в основном режиме.

Решение: Для этого случая граф марковской цепи показан на рис.12.

 

Рисунок 12

Система алгебраических уравнений для стационарного режима работы данной марковской цепи будет иметь вид:

После решения данной системы получим:

Видно, что по сравнению с предыдущей задачей надежность устройства еще больше увеличилась. Это произошло вследствие того, что резервный узел при  исправности основного узла не работал и поэтому не подвергался потоку отказов. Однако такой способ резервирования приводит к потере времени на включение резервного узла и перевод его в рабочий режим. Кроме того, возможна потеря некоторой информации, которая находилась в основном узле.

Задача 2.7 Построить марковскую цепь и определить вероятности его нахождения в различных состояниях:

а) для  невосстанавливаемой ЭВМ, если известно, что поток отказов простейший с параметром l;

б) для ЭВМ, восстанавливаемой с интенсивностью восстановления m;

в) для трехкратного резервирования ЭВМ без восстановления;

г) для трехмашинного комплекса, рассмотренного в предыдущем варианте, с учетом ограниченного восстановления ЭВМ;

д) для трехмашинного комплекса с учетом неограниченного восстановления.

Для первых двух вариантов определить вероятности нахождения марковского процесса в различных состояниях.

Решение: а) Для решения задачи определим возможные состояния марковской цепи{S_i}:

S₀ – ЭВМ работоспособна;