Статистическая проверка параметрических гипотез, страница 9

В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]>A_o . В случае, если >U_a , при отклонении нулевой гипотезы возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

1-б. H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]<A_o .

3-б. Если H_o верна, то критерий наиболее вероятно U=0. Если же верна H_a: M[x]<A_o, то U будет принимать большие отрицательные значения. ОКЗ определим как множество значений, характерных для критерия U в случае справедливости гипотезы H_a. Величина ОКЗ определяется из условия P{UÎОКЗ|H_o}=a Þ P{U<–U_крит|H_o}=a Þ P{U<U_1–a|H_o}=a Þ P{U<–U_a|H_o}=a.

В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу гипотезы H_a; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]<A_o .

Проверка гипотезы о значении МО СВ,
имеющей нормальный закон распределения с неизвестным СКО

Пусть x~N(M[x],s[x]), причём s[x] неизвестно.

1. Требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]¹A_o .

2. Для проверки данной гипотезы используется статистический критерий значимости , где ,  – есть несмещенные оценки МО и СКО СВ x. В случае, когда гипотеза H_o: M[x]=A_o верна, критерий значимости t~t(n–1).

3. В случае, если H_o верна, наиболее вероятно, что критерий t=0. Если же верна H_a, то критерий t будет принимать очень большие или очень маленькие значения. Таким образом, малые по модулю значения критерия t будем считать допустимыми, а большие по модулю значения – недопустимыми, т.е. критическими (см. рисунок).

Учитывая симметричность f(t) относительно нуля и то, что ОКЗ – двусторонняя, границы ОКЗ статистического критерия t определяются соотношениями: P{t<–t_крит|H_o}=a/2; P{t>t_крит|H_o}=a/2. В последнем выражении, t_крит=t_a/2, n–1 есть квантиль распределения Стьюдента уровня a/2  с n=n–1 степенями свободы (определяется по таблицам).

4. По формуле  определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5. Если – t_a/2, n–1<<t_a/2, n–1 , то гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]¹A_o . В случае, если ||>t_a/2, n–1 , при отклонении гипотезы H_o возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.

Примечание. Если требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]<A_o или H_a: M[x]>A_o , то ОКЗ для этих случаев выглядят так:

H_o: M[x]=A_o ; H_a: M[x]>A_o                                                   H_o: M[x]=A_o ; H_a: M[x]<A_o 

Проверка гипотезы относительно равенства МО двух независимых СВ,
имеющих нормальные законы распределения с известными СКО

Пусть x~N(M[x],s[x]), h~N(M[h],s[h]), параметры s[x] и s[h] известны.