Статистическая проверка параметрических гипотез, страница 4

При применении статистических критериев значимости схема проверки гипотезы выглядит следующим образом (см. рисунок 3). Видно, что f(K|H_a) и, следовательно, вероятность совершения ошибки 2-го рода не определены и не учитываются.

Рисунок 3.

Алгоритм проверки статистических гипотез с помощью статистических критериев значимости

1.  Формулируются нулевая (проверяемая) H_o и альтернативная H_a гипотезы. Альтернативная гипотеза принимается в случае, если гипотеза H_o отклоняется. Нулевая гипотеза должна быть простой.

2.  Подбирается статистический критерий значимости K (вспомогательная СВ), который (в случае, если H_o верна) имеет заранее известное распределение.

3.  Множество возможных значений статистического критерия значимости K разбивается (с учётом альтернативной гипотезы) на два непересекающихся множества: ОДЗ и ОКЗ. Величина ОКЗ статистического критерия выбирается из условия: P{KÎОКЗ|H_o}=a.

4.  По результатам n испытаний определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5.  Если KÎОКЗ, то формулируется вывод: «H_o не согласуется с опытными данными, следовательно, H_o отклоняется».
Если KÏОКЗ, то формулируется вывод: «H_o согласуется с опытными данными, следовательно, оснований для отклонения H_o нет».

На этой и последующей лекции мы рассмотрим 4 примера проверки статистических параметрических и непараметрических гипотез. В некоторых случаях мы сами подберем статистические критерии значимости (вспомогательные СВ с заранее известными законами распределения). В других случаях мы будем пользоваться готовыми статистическими критериями, выведенными в фундаментальной литературе по статистике.

К сожалению, для проверки множества статистических гипотез, возникающих в практической деятельности, часто бывает затруднительно подобрать или вывести вспомогательную СВ с заранее известным законом распределения. Рассмотрим наиболее лёгкие. Итак, начнём с проверки гипотезы о значении МО СВ, имеющей нормальный закон распределения с известным СКО.

Проверка гипотезы о значении МО СВ, имеющей нормальный закон распределения с известным СКО

Пусть исследуемая СВ x~N(M[x],s[x]), причём s[x] известно.

1. Требуется проверить гипотезу H_o: M[x]=A_o против H_a: M[x]¹A_o . Другими словами, следует установить: значимо или незначимо различаются  и гипотетическое значение M[x]=A_o.

2. Рассмотрим величину , которая (в силу центральной предельной теоремы) имеет нормальный закон распределения с M[]=M[x] (поскольку  является несмещённой оценкой M[x], т. е.  ); и  (выводилось на прошлой лекции).

Для проверки гипотезы H_o будем использовать статистический критерий значимости , который, в случае, если M[x]=A_o имеет нормальный закон распределения c  и дисперсией .

Таким образом, если H_o верна, то СВ U~N(0,1).

3. В случае, если H_o верна, критерий U наиболее вероятно примет значение близкое к нулю. Если же верна H_a, то СВ U будет принимать очень большие или очень маленькие значения. На множестве возможных значений статистического критерия U определим ОКЗ, которые являются характерными для критерия U в случае справедливости альтернативной гипотезы. Величину ОКЗ определим из условия P{UÎОКЗ|H_o}=a. Учитывая симметричность f(u) относительно нуля, критические значения статистического критерия U определяются соотношением: U_крит=U_a/2, где U_a/2 – квантиль стандартного нормального распределения уровня a/2 (определяется по таблицам).

Рисунок 4.

4. По формуле  определяется выборочное значение статистического критерия значимости .

5. Если –U_a/2<<U_a/2 , то гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается согласующейся с результатами экспериментов (оснований для отклонения гипотезы нет). В противном случае, гипотеза H_o: M[x]=A_o  считается не согласующейся с результатами экспериментов, она отклоняется в пользу альтернативной гипотезы; т.е. с вероятностью 1–a можно утверждать, что справедлива гипотеза H_a: M[x]¹A_o . В случае, если ||>U_a/2 , при отклонении нулевой гипотезы возможно была совершена ошибка 1-го рода, однако вероятность такой ошибки a»0.