Общие указания по выполнению контрольной работы по дисциплине "Теоретические основы автоматики и телемеханики", страница 6

  Допустим, что характеристическое уравнение исследуемой САР имеет вид    Для определения устойчивости составим таблицу Рауса по следующим правилам: первая строка составляется из четных коэффициентов уравнения (a0,a2 и т.д.), а вторая - из нечетных (a1,a3 и т.д.), в третью  и последующие строки записывается разность произведений коэффициентов, деленная на нечетный коэффициент предыдущей строки, находящийся в первом столбце.

  Составление таблицы прерывается, как только первый элемент какой-либо строки оказывается отрицательным или равным нулю. Если при анализе данных этой таблицы окажется, что все элементы первого столбца будут отличны от нуля и положительны при условии, что коэффициент а0 старшего члена уравнения больше нуля, то система устойчива.

N столбца

N строки

1

2

3

4

1

a0

a2

a4

a6

2

a1

a3

a5

a7

3

4

5

 

 

6

  . . .

  . . .

  .  .  .

  . . .

Пример. Проверить устойчивость системы, имеющей характеристическое уравнение

    (1)

 

 После подстановки получим уравнение:

 

  Составим таблицу Рауса (таблица 1).

 Таблица 1.

N столбца

N строки

1

2

3

1

0.0000625

0.6

1

2

0.12525

0.4

0

3

1

0

4

0

0

5

1

    Из таблицы следует, что данная система устойчива.

                 Оценка устойчивости САР по критерию Гурвица

 Критерий устойчивости Гурвица основан на построении специальных определителей характеристического уравнения, называемых определителями Гурвица. При составлении главного определителя уравнений системы пользуются следующими правилами:

 - по главной диагонали выписываются в порядке возрастания все коэффициенты от а1 до аn ;

 -  все столбцы определителя дополняются вверх по диагонали коэффициентами с последовательно убывающими индексами;

 - наибольший порядок главного определителя Гурвица принимается равным степени характеристического уравнения  n;

 - на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше нуля, ставятся  нули .

В общем случае главный определитель имеет следующий вид:

.

Из главного определителя отчеркиванием m столбцов и m строк получают определитель  m-го порядка  Dm  .  Так, определитель первого порядка   D1=a1, определитель второго порядка   D2=a1 а20а3 и т.д.

 Критерий Гурвица формируется следующим образом. Система устойчива, если при а0>0 все определители m-го порядка  Dm больше нуля  (где m=1,2,3 . . .). Согласно этому критерию можно установить простые условия устойчивости при невысокой степени характеристического уравнения САР.

 Пример. Определим, устойчива ли система, имеющая характеристическое уравнение

             

     При положительных коэффициентах характеристического уравнения для системы четвертого порядка достаточно  проверить выполнение неравенства:

                                           

 Так как определитель D2 входит множителем в положительную часть определителя  D3, последний может быть положительным при а3>0 только когда а2>0.

 В данной системе условие устойчивости по критерию Гурвица выполнено.

 При выполнении контрольной работы на основе данных табл.1 уравнение (1) следует привести к виду

                               

После этого, используя критерии Гурвица и Рауса, определить устойчивость САР при заданных параметрах регулирования  1,2,. . . . , n.