Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры: Пособие по курсу «Высшая математика»

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Гомельский государственный

технический университет имени П.О.Сухого»

Кафедра «Высшая математика»

В.И. Гойко, В.Г. Тепляков

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ

ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

лекции

                     по курсу «Высшая математика»  и  «Математика»

                для студентов заочного отделения  всех специальностей

Гомель 2010


УДК 517.37

ББК

          Рекомендовано к изданию научно-методическим советом факультета автоматизированных и информационных систем

                                 ГГТУ им. П.О.Сухого

(протокол № ____ от __________________)

          Рецензент: зав. кафедрой «Высшая математика» УО БелГУТ, канд. физ.-мат. наук, доцент  С.П. Новиков.

Гойко В.И.

          Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры. Пособие по курсу «Высшая математика» для студентов заочного отделения  всех специальностей / В.И. Гойко, В.Г. Тепляков. – Гомель: ГГТУ им. П.О.Сухого, 2010. –            с.

          В пособии излагаются основы аналитической геометрии и элементы линейной алгебры. Приводится достаточно большое количество решенных задач и примеров, иллюстрирующих основные положения, формулы и определения аналитической геометрии и линейной алгебры.

          Для студентов всех специальностей заочного отделения технических университетов.


Глава 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ  НА  ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим на прямой  две различные точки  Oи  E. Будем говорить, что точка  Mпрямой  , отличная от точки  O, и точка  E  лежат по одну сторону относительно  O, если точка  O  не лежит между  E  и  M. Точки  E  и  M  лежат по разные стороны от точки  O, если  O  лежит между ними.

Лучом  (OE)  называется совокупность точек, состоящую из  O,  E  и всех точек  M  прямой  , лежащих по одну сторону с точкой  E  относительно точки  O. Точка  O  называется началом луча.

Рассмотрим на прямой   две точки  O иE. Точка  O  делит прямую  на два луча. Точка  O  называется началом системы координат, прямая   – осью координат. Выберем отрезок  OE  в качестве единицы масштаба. Возьмем на прямой  произвольную точку  M. Этой точке поставим в соответствие число  x, определяемое следующим образом:

1)   – длина отрезка  OM, измеренного при помощи единичного отрезка  OE;

2)  , если точки  MиE  принадлежат одному лучу  ( O, E)  и  , если точки  MиE  принадлежат разным лучам прямой    относительно точки  O;

3)  , если точка  M  совпадает с точкой  O.

Число x называется координатой точки M и записывается так:  M(x). Обратно, всякому числу  x  ставится в соответствие на прямой  точка  M, для которой число  x  есть координата, если даны начало системы координат  O  и единица масштаба  OE.

§1. Вычисление длины отрезка на прямой. Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны две точки   и  .

Длина отрезка AB, измеренного единичным отрезком OE, вычисляется по формуле:

(1.1)

Разделить отрезок в данном отношении l  – это значит на прямой  AB найти такую точку  C, что выполняются следующие условия:

;

точка  C  принадлежит отрезку  AB, если  ,  и  лежит вне отрезка  AB, если  .

Пусть координаты точек  A  и  B  будут соответственно  и . Так как , ,  а знаки разностей  и    одинаковы, если точка C принадлежит отрезку AB, и различны в противном случае, то получим равенство:

.

Теперь получаем: . Если , то .

Если , то . В этом случае делящая точка  C(x)  будет серединой отрезка.

§ 2.  Прямоугольные  декартовы  координаты на плоскости

Рассмотрим на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Пусть точка  O – точка пересечения этих прямых и  E1E2  – две точки на этих прямых, удовлетворяющих условию:

. Точка O называется началом системы координат, ось  Oxназывается осью абсцисс, ось  Oy – осью ординат. На рисунках ось абсцисс проводится горизонтально, а ось ординат – вертикально. На оси абсцисс положительным направлением считается направление слева направо, а на оси ординат положительным направлением считается направление снизу вверх.

Пусть M – произвольная точка плоскости. Проведем перпендикуляры  из точки  M  к осям  Oxи  Oy  и найдем точки    и    пересечения этих перпендикуляров с соответствующими осями. Координатами точки  M  называются числа  , . Запись   обозначает, что  ,   есть координаты точки  M. Теперь мы скажем, что на плоскости построена декартова прямоугольная система координат, которая обозначается символом  Oxy. Каждой точке  M плоскости поставлена в соответствие вполне определенная пара вещественных чисел, взятых в определенном порядке, короче, упорядоченная пара чисел – ее координаты  x  и  y. Обратно, каждой упорядоченной паре действительных чисел  x  и  y  соответствует единственная точка  M, координаты которой равны  x  и  y.

§ 3.  Вычисление длины отрезка на плоскости

Вычислим длину  d  отрезка  AB, если заданы координаты точек   и . Проведем через точки Aи B прямые, параллельные осям координат, до пересечения с ними в точках   , , , .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Используя теорему Пифагора, получим:

,

.

Отсюда получаем следующую формулу:

 (1.2)

Если прямая AB параллельна одной из осей координат, например, оси  Ox, или совпадает с ней, то длина отрезка   ABравна длине отрезка  . Следовательно,   и так как в этом случае , то d вычисляется по формуле (1.2). Формула (1.2) является общей формулой, справедливой для любого положения точек  A, B на плоскости.

Пример  3.1.  Вычислить длину отрезка  AB, если , .

Решение.  Используем формулу   (1.2):

  .

§ 4.  Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны точки , . Требуется найти точку , которая делит отрезок  в отношении l1 : l2, т. е. удовлетворяющую соотношению

. Тогда координаты точки вычисляются по формулам:

. (1.3)

Пусть  – середина отрезка M1M2. Легко видно, что координаты точки вычисляются по следующим формулам:

. (1.4)

Пример 4.2. Найти центр тяжести  треугольника , если .

Решение. Известно, что искомая точка  лежит на пересечении медиан треугольника и делит каждую из них в отношении   (считая от вершины треугольника). Т.к. CK– медиана, то  – середина стороны . Тогда . Теперь используем формулы (1.3). Делим отрезок  в отношении , получим:   Итак,  M(4; 5).

§ 5.  Полярные координаты точки

Рассмотрим на плоскости луч  (O, E)  с начальной точкой  O  и некоторой точкой  E. Луч называется полярной осью, точка  Oполюсом, точка  E –  единичной точкой.

Пусть  M – произвольная точка плоскости. Длину отрезка  OM, измеренного единичным отрезком  OE, называют длиной полярного радиуса  точки  M  и обозначают  r. Положительный угол от луча  (O, E)  до луча  (O, M)  называют полярным углом точки  M  и обозначают буквой  φ. Пара чисел  φ  и  r  называется полярными координатами точки  M. Последний факт записывается следующим образом:  M(φ, r).                                                                              

Если известны полярные координаты  φ, r   точки  M, то по формулам:

 (1.5)

вычисляются декартовы координаты. Обратно, если известны декартовы координаты  x,y точки  M, то ее полярные координаты вычисляются по формулам:

 (1.6)

§ 6.  Элементы  векторной  алгебры

Одни физические величины такие, как масса, температура, время можно вполне характеризовать заданием их численного значения. Такие величины называются скалярными, а числа, выражающие значения этих величин, называются скалярами. Другие же величины такие, как сила, скорость, ускорение характеризуются

Похожие материалы

Информация о работе