Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры: Пособие по курсу «Высшая математика»

Глава 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ  НА  ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим на прямой  две различные точки  Oи  E. Будем говорить, что точка  Mпрямой  , отличная от точки  O, и точка  E  лежат по одну сторону относительно  O, если точка  O  не лежит между  E  и  M. Точки  E  и  M  лежат по разные стороны от точки  O, если  O  лежит между ними.

Лучом  (O,  E)  называется совокупность точек, состоящую из  O,  E  и всех точек  M  прямой  , лежащих по одну сторону с точкой  E  относительно точки  O. Точка  O  называется началом луча.

Рассмотрим на прямой   две точки  O иE. Точка  O  делит прямую  на два луча. Точка  O  называется началом системы координат, прямая   – осью координат. Выберем отрезок  OE  в качестве единицы масштаба. Возьмем на прямой  произвольную точку  M. Этой точке поставим в соответствие число  x, определяемое следующим образом:

1)   – длина отрезка  OM, измеренного при помощи единичного отрезка  OE;

2)  , если точки  MиE  принадлежат одному лучу  ( O, E)  и  , если точки  MиE  принадлежат разным лучам прямой    относительно точки  O;

3)  , если точка  M  совпадает с точкой  O.

Число x называется координатой точки M и записывается так:  M(x). Обратно, всякому числу  x  ставится в соответствие на прямой  точка  M, для которой число  x  есть координата, если даны начало системы координат  O  и единица масштаба  OE.

§1. Вычисление длины отрезка на прямой. Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны две точки   и  .

Длина отрезка AB, измеренного единичным отрезком OE, вычисляется по формуле:

(1.1)

Разделить отрезок в данном отношении l  – это значит на прямой  AB найти такую точку  C, что выполняются следующие условия:

;

точка  C  принадлежит отрезку  AB, если  ,  и  лежит вне отрезка  AB, если  .

Пусть координаты точек  A  и  B  будут соответственно  и . Так как , ,  а знаки разностей  и    одинаковы, если точка C принадлежит отрезку AB, и различны в противном случае, то получим равенство:

.

Теперь получаем: . Если , то .

Если , то . В этом случае делящая точка  C(x)  будет серединой отрезка.

§ 2.  Прямоугольные  декартовы  координаты на плоскости

Рассмотрим на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Пусть точка  O – точка пересечения этих прямых и  E₁,  E₂  – две точки на этих прямых, удовлетворяющих условию:

. Точка O называется началом системы координат, ось  Oxназывается осью абсцисс, ось  Oy – осью ординат. На рисунках ось абсцисс проводится горизонтально, а ось ординат – вертикально. На оси абсцисс положительным направлением считается направление слева направо, а на оси ординат положительным направлением считается направление снизу вверх.

Пусть M – произвольная точка плоскости. Проведем перпендикуляры  из точки  M  к осям  Oxи  Oy  и найдем точки    и    пересечения этих перпендикуляров с соответствующими осями. Координатами точки  M  называются числа  , . Запись   обозначает, что  ,   есть координаты точки  M. Теперь мы скажем, что на плоскости построена декартова прямоугольная система координат, которая обозначается символом  Oxy. Каждой точке  M плоскости поставлена в соответствие вполне определенная пара вещественных чисел, взятых в определенном порядке, короче, упорядоченная пара чисел – ее координаты  x  и  y. Обратно, каждой упорядоченной паре действительных чисел  x  и  y  соответствует единственная точка  M, координаты которой равны  x  и  y.

§ 3.  Вычисление длины отрезка на плоскости

Вычислим длину  d  отрезка  AB, если заданы координаты точек   и . Проведем через точки Aи B прямые, параллельные осям координат, до пересечения с ними в точках   , , , .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Используя теорему Пифагора, получим:

,

.

Отсюда получаем следующую формулу:

 (1.2)

Если прямая AB параллельна одной из осей координат, например, оси  Ox, или совпадает с ней, то длина отрезка   ABравна длине отрезка  . Следовательно,   и так как в этом случае , то d вычисляется по формуле (1.2). Формула (1.2) является общей формулой, справедливой для любого положения точек  A, B на плоскости.

Пример  3.1.  Вычислить длину отрезка  AB, если , .

Решение.  Используем формулу   (1.2):

  .

§ 4.  Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны точки , . Требуется найти точку , которая делит отрезок  в отношении l₁ : l₂, т. е. удовлетворяющую соотношению

. Тогда координаты точки вычисляются по формулам:

,  . (1.3)

Пусть  – середина отрезка M₁M₂. Легко видно, что координаты точки вычисляются по следующим формулам:

,  . (1.4)

Пример 4.2. Найти центр тяжести  треугольника , если .

Решение. Известно, что искомая точка  лежит на пересечении медиан треугольника и делит каждую из них в отношении   (считая от вершины треугольника). Т.к. CK– медиана, то  – середина стороны . Тогда . Теперь используем формулы (1.3). Делим отрезок  в отношении , получим:   Итак,  M(4; 5).

§ 5.  Полярные координаты точки

Рассмотрим на плоскости луч  (O, E)  с начальной точкой  O  и некоторой точкой  E. Луч называется полярной осью, точка  O – полюсом, точка  E –  единичной точкой.

Пусть  M – произвольная точка плоскости. Длину отрезка  OM, измеренного единичным отрезком  OE, называют длиной полярного радиуса  точки  M  и обозначают  r. Положительный угол от луча  (O, E)  до луча  (O, M)  называют полярным углом точки  M  и обозначают буквой  φ. Пара чисел  φ  и  r  называется полярными координатами точки  M. Последний факт записывается следующим образом:  M(φ, r).                                                                              

Если известны полярные координаты  φ, r   точки  M, то по формулам:

;   (1.5)

вычисляются декартовы координаты. Обратно, если известны декартовы координаты  x,y точки  M, то ее полярные координаты вычисляются по формулам:

 (1.6)

§ 6.  Элементы  векторной  алгебры

Одни физические величины такие, как масса, температура, время можно вполне характеризовать заданием их численного значения. Такие величины называются скалярными, а числа, выражающие значения этих величин, называются скалярами. Другие же величины такие, как сила, скорость, ускорение характеризуются