Двойственность в линейном программировании, страница 12

Правильность полученных результатов легко проверить, изменяя столбец свободных членов в таблице 22 (ячейки D3:D7). Пока они остаются в пределах найденных интервалов, последняя симплексная таблица (см. таблицу 23) останется допустимой. При этом значения двойственных оценок (коэффициенты в критериальной строке) не изменятся, а оптимум (свободный член в критериальной строке) изменится в соответствии с теоремой об оценке.

Например, подставим в ограничение по содержанию белка вместо свободного члена 44 найденное граничное значение 43,694. Для этого просто введем в ячейку D5 это число. При этом результаты вычислений в других ячейках столбца D изменятся. Новые значения в оптимальной симплексной таблице приведены в таблице 24.

Таблица 24 – Проверка результатов анализа устойчивости

Итак, решение задачи изменилось. Новое значение оптимума 7,34. Свободный член изменился на (43,694 - 44 = -0,306), поэтому оптимум должен был измениться на у₄*(-0,306) = 0,122*(-0,306) » -0,037. При первоначальном варианте исходных данных оптимум составлял 7,378.   Поскольку 7,378 - 0,037 = 7,34, проверка подтвердила правильность всех вычислений.

Кроме того, результаты вычислений в ячейках D37:I37 таблицы 23 как раз показывают, что оптимум задачи равен 7,378 + 0,122_Db₃ + 4_Db₅, т.е. непосредственно иллюстрируют теорему об оценке.

Следует обратить внимание, что при подстановке граничных величин свободных членов оптимальный план становится вырожденным (т.е. по крайней мере одна из базисных переменных равна нулю). Например, в таблице 24 x₅ = 0. При выходе за пределы найденных интервалов допустимость заключительной таблицы нарушится, т.е. по крайней мере одно из значений в столбце В (ячейках D32:D36) станет отрицательным. Кроме того, следует помнить, что эти интервалы найдены для условий, когда одновременно изменяется только один элемент столбца свободных членов, а остальные остаются неизменными.

Отметим, что если сравнить столбец F3:F37 (коэффициенты при _Db₂) в таблицах 22-23 со столбцом коэффициентов при х₅ I3:I37 (после вставки пяти новых столбцов ячейки I3:I37 стали занимать другой диапазон - N3:N37) в таблицах 17-19, можно убедиться, что они полностью совпадают. Это не удивительно, так как во втором ограничении дополнительная переменная х₅ была базисной в исходном опорном плане, и содержимое ячеек F3:F7 в таблице 22 полностью совпадает с содержимым ячеек N3:N7. Следовательно, совпадает и результат их линейного преобразования. То же самое можно сказать про _Db₄ и х₇.

5.7 Вопросы и упражнения

1   Определите понятие двойственности.

2   По каким правилам строится двойственная задача?

3   Сформулируйте основную теорему двойственности.

4   Сформулируйте следствие из основной теоремы двойственности.

5   Если ОДП одной из сопряженных задач пуста, какие выводы можно сделать о другой задаче?

6   Как получить решения двойственной задачи из решения исходной задачи симплекс-методом?

7   Сформулируйте теорему о равновесии.

8   Сформулируйте следствие из теоремы о равновесии.

9   Может ли двойственная оценка быть равной нулю, если соответствующее ограничение исходной задачи выполняется, как равенство?

10   В чем заключается экономическая интерпретация теоремы о равновесии?