Пусть некоторый точечный заряд q0 движется в поле некоторого заряда q(рис.1).Элементарная работа: dA=Fdl=Fdlcosα=qq0dlcosα/4πƐƐ0l2, dA=qq0dr/4πƐƐ0r2, (рис.2). A12= qq0/4πƐƐ0∫dr/r2= qq0/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2). Работа не зависит от траектории, а определяется начальным и конечным расстоянием от точек траектории до заряда q. Если перемещать заряд q0 в обратном направлении A21= qq0/4πƐƐ0(1/r2 – 1/r1). Работа по перемещения на замкнутой траектории: A=A12+A21=0, A12= -A21. Если заряд q не точечный, то мы разбиваем его на малые элементы, считающиеся точечными, и для каждого элемента можем провести такое же рассуждение (рис.3). A12= ∆ qq0/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2), A=∑∆Ai=∑∆ qq0/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2). В этом случае мы также приходим к выводу, что работа не зависит от траектории, не трудно убедиться, что при возвращении заряда q0 из точки 2 в точку 1: A=A12+A21=0, A21= -A12. Изложенное показывает, что электростатическое поле является потенциальным. Это свойство мы можем отобразить: A=∫q0Edl= q0∫Edl=0, A12=q0 ∑∆ q/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2). Если отнести работу к единичному положительному заряду, то A/q=∫Edl=0 - характеристика потенциального поля. Edl=0, циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру, равенство нулю этой величины свидетельствует о потенциальности поля.
Для электростатического поля удобно ввести величину, имеющую размерность работы, приходящуюся на единицу заряда, обозначим ее φ – потенциал. A12=q0(φ1 – φ2). (φ1 – φ2) – разность потенциалов, определяет работу по перемещению единицы положительного заряда между точками 1 и 2. A12=q0[φ(x1, y1, z1) - φ(x2, y2, z2)] = q0(φ1 – φ2). Очевидно, что q0φ может рассматриваться как потенциальная энергия заряда q0 в данной точке поля, а φ – как потенциальная энергия единицы положительного заряда в данной точке поля. Для потенциала можно дать следующее определение: потенциал поля какого-то заряда в данной точке определяется как: φ=∑∆ q/4πƐƐ0r + C. Если имеются неточечные заряды q, то потенциал в точке наблюдения равен φ=∑∆ q/4πƐƐ0r + C, где С – произвольная постоянная. φ=∑∆ q/4πƐƐ0r + C. φ(r)=1/4πƐƐ0∫dq/r+C , φ1 – φ2=∫Edl, φ1 = φ2+∫Edl. Потенциал в данной точке – работа по перемещению единицы положительного заряда из данной точки в точку, где потенциал равен нулю.
7.Связь потенциала и напряженности электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности. Графическая картина поля
(рис. 1) Δφ=φ1 - φ2, |Δφ|=φ2 - φ1, q0EΔlcosα=- q0Δφ, EΔlcosα=- Δφ, Ecosα=El=-dφ/dl. Это равенство показывает, что составляющая вектора Е по данному направлению равна изменению потенциала вдоль данного направления. Ex= - ∂φ/∂x, Ey= - ∂φ/∂y, Ez= - ∂φ/∂z, φ(x, y, z), E= -∂φi/∂x- ∂φj/∂y- ∂φk/∂z= - gradφ.
E = - gradφ, вектор направлен в сторону наискорейшего возрастания функции φ.
Заряд переносится из 1 в 2 силами поля, тогда работа, совершенная для переноса заряда может быть записана: ΔA=qEΔlcosα, ΔA=q(φ1 - φ2), φ1 - φ2= - (φ2 - φ1) = - Δφ. Т.о. qEΔlcosα= - qΔφ, EΔlcosα= - Δφ, El=Ecosα= - Δφ/Δl= - dφ/dl(1).
Напряженность поля в данном направлении равна скорости изменения потенциала вдоль этого направления. Если данное направление совпадает с силовыми линиями, то cosα=1, α=0, тогда Е=- dφ/dL=Emax, т.е. когда max значение Е имеет место вдоль силовой линии. Для декартовой системы координат на основании (1) и считая, что φ зависит от x, y, z можем определить напряжение поля Ex= - ∂φ/∂x, Ey= - ∂φ/∂y, Ez= - ∂φ/∂z. Вектор Е можем рассматривать как совокупность компонентов по координатам E= Exi-Eyj–Eyk = -(∂φi/∂x+ ∂φj/∂y+ ∂φk/∂z)
Величина, стоящая в скобках называется градиентом скалярной функции φ. Градиент – это вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции. E = - gradφ.
Если cosα=0, α=90, то dφ/dl=0, т.е. для такого направления φ=const, т.е. все перемещения, которые лежат на поверхности для которых равенство dφ/dl=0.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.