Электрический заряд. Закон сохранения заряда. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Силовые линии электрического поля. Работа и энергия в электростатическом поле. Механические силы в электростатическом поле. Диполь во внешнем поле, страница 3

4.Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на Ɛ0.

Пусть точечный заряд q охватывает некоторую замкнутую поверхность S. Вычислим поток вектора Dэтого заряда, пронизывающий поверхность (рис.1)  dФ=DdS=DdScosα. Подставим величину D для точечного заряда:dФ=qdScosα/4πr2. Полный поток, пронизывающий поверхность: ФD=∫DdS (рис.2). , где Ω – телесный угол. Если взять сферу, поверхность которой S=4πr2, то из центра сферы она видна под углом Ω: Ω=S/r2=4π, т.е. любая замкнутая поверхность видна из точки, расположенной внутри под углом 4π. , т.е. поток вектора D равен точечному заряду, охватывающему поверхность.

Если заряд не точечный, то мы разбиваем его на малые элементы, которые можно считать точечными (рис.3),  ∆ФDi=∆qi , общий поток элемента=сумме потоков. ФD=∑∆ФDi=∑∆ qi =q. Т.о., для заряда любой формы, охватывающего поверхность, поток, пронизывающий эту поверхность, равен заряду.

Если заряд не охватывает поверхности, то можно построить телесный угол, конус которого касается этой поверхности, т.е. заряд находится вне поверхности (рис.4). Конус касается поверхности по некоторой линии, которая делит поверхность на 2 части: S1 и S2. S1: dS и D составляют тупой угол, DdScosα<0, т.к. α>90, поэтому S видна под отрицательным углом – Ω. S2: α<0, cos(DdS)>0 и поверхность S2 видна под углом +Ω. Поэтому, общий поток, пронизывающий поверхность равен: , т.е. поток, пронизывающий эту поверхность равен нулю. ∫DdS =q, ∫DdS =0

Следствия:

1. DdS =q. В частном случае однородной среды D=ƐƐ0E,∫EdS=q/ ƐƐ0. Это равенство показывает, что между зарядом и окружающим его полем существует определенное количественное соотношение, каждому заряду соответствует определенное количество поля.

2. Если рассмотреть поверхность, внутри которой зарядов не содержится EdS=0. Возьмем эту поверхность и нарисуем силовые линии, пронизывающие ее (рис. 5). Равенство показывает, что, сколько силовых линий входит в поверхность, столько и выходит. Это означает, что силовые линии не могут начинаться и кончаться в пространстве, свободном от электрических зарядов, или могут уходить в бесконечность.

5.Работа по перемещению электрического заряда в электростатическом поле. Циркуляция вектора напряженности

Пусть некоторый точечный заряд q0 движется в поле некоторого заряда q (рис. 1). Элементарная работа:  dA=Fdl=Fdlcosα=qq0dlcosα/4πƐƐ0l2, dA=qq0dr/4πƐƐ0r2,(рис.2).  A12= qq0/4πƐƐ0∫dr/r2= qq0/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2). Работа не зависит от траектории, а определяется начальным и конечным расстоянием от точек траектории до заряда q. Если перемещать заряд q0 в обратном направлении A21= qq0/4πƐƐ0(1/r2 – 1/r1). Работа по перемещения на замкнутой траектории: A=A12+A21=0, A12= -A21. Если заряд q не точечный, то мы разбиваем его на малые элементы, считающиеся точечными, и для каждого элемента можем провести такое же рассуждение (рис. 3).  A12= ∆ qq0/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2), A=∑∆Ai=∑∆ qq0/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2). В этом случае мы также приходим к выводу, что работа не зависит от траектории, не трудно убедиться, что при возвращении заряда q0 из точки 2 в точку 1: A=A12+A21=0, A21= -A12. Изложенное показывает, что электростатическое поле является потенциальным. Это свойство мы можем отобразить: A=∫q0Edl= q0∫Edl=0, A12=q0 ∑∆ q/4πƐƐ0(1/r1 – 1/r2). Если отнести работу к единичному положительному заряду, то A/q=∫Edl=0 - характеристика потенциального поля. Edl=0, циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру, равенство нулю этой величины свидетельствует о потенциальности поля.   

6.Потенциал электростатического поля