Определение предела функции в точке. Теорема о единственности предела. Экспоненциальные и гиперболические функции их свойства и графики. Формулы дифференцирования, страница 4

(.)х0 называется (.) разрыва f(x) если оба односторонних предела существуют либо они не равны между собой и конечны, либо равны но не равны (.)х0

1)Þ(.)х0 – (.) устранимого разрыва 1-го рода

2) Þ(.)х0 – (.) неустранимого разрыва 1-го рода

[lim f(х)( x® x0-0)-lim f(х)( x® x0+0)]

(.)х0 – (.) разрыва 2-го рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

15. Непрерывные ф-ии на промежутках: f(x) называется непрерывной на [a,b] если она непрерывна в каждой точке этого промежутка

Теорема Вейристрасса: Если f(x) непрерывна  на [a,b], то она 1)ограничена на [a,b] 2) достигает на [a,b] своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной ф-ии: пусть f(x) – непрерывна на [a,b]   f(x)=A, f(x)=B и A¹B, тогда "С – заключена между А и В $(.)х0Î[a,b]: f(x0)=C

  Геометрически это означает, что прямая y=C обязательно пересечёт график непрерывной ф-ии на промежутке[a,b]. Следствие: если f(x) непрерывна на [a,b] и на его концах принимает значения  разных знаков, то $х0Î[a,b]      f(x0)=a   x0 – корень ур-ия f(x)=0

16. Экспоненциальные и гиперболические ф-ии их св-ва и графики:

экспоненциальной ф-ей или экспонентой называется ф-ия с основанием е

гиперболические ф-ии

(1) гиперболический синус y=shx=(ex-e-x)\2=(e2x-1)\2ex   1) X=R=(-¥;+¥)  Y=R=(-¥;+¥) 2)нечётная sh(-x)=-shx график симметричен относительно начала координат 3)sh0=0 4)­, непрерывная в"(.) х.

(2) гиперболический косинус y=chx=(ex+e-x)\2=(e2x+1)\2ex   1) X=R=(-¥;+¥)  Y=(1;+¥)

3) чётная ch(-x)=ch(x) 4)ch0=1 5) на промежутке(-¥;0]¯, на[0;+¥)­; непрерывна в любой (.)х, график симметричен относительно Оу

(3) Гиперболический тангенс у=thx=shx\chx=(ex-e-x)\ (ex+e-x)= (e2x-1)\ (e2x+1) 1) X=R=(-¥;+¥)  Y=(-1;1) 2) нечётная th(-x)=-thx 3) th0=0 4)­, непрерывная в"(.) х.5)ограниченная ½th½<1

(4) гиперболический котангенс у=сthx=chx\shx=(ex+e-x)\ (ex-e-x)= (e2x+1)\ (e2x-1) 1) X=R=(-¥;+¥)  Y=(-¥;-1)È(1;+¥) 2) нечётная cth(-x)=-cthx график симметричен относительно начала координат 3)Разрывная е=1, х=0 - (.) разрыва 2-го рода 4) (-¥;0)

св-ва гиперболических ф-ий: 1)ch2x- sh2x=1 2) ch2x+ sh2x=ch2x 3) 2chx*shx=sh2x 4) thx*cthx=1

19. формулы дифференцирования:

1) f(x)=c x0, x0+Dx  lim(Dx®0)Dy\Dx= lim(Dx®0)0\Dx=0;   f(x0)=c   f(x0+Dx)=cÞ(c)’=0

Dy = f(x0+Dx) - f(x0) = c-c=0

2) f(x)=xa (степенная ф-ия) x0®x0+Dx

f(x0)= x0a  f(x0+Dx)= (x0+Dx)a= x0a(1+Dx\х0)Þ Dy = f(x0+Dx) - f(x0) = x0a[(1+Dx\х0)a-1]

lim(Dx®0) Dy\Dx= x0alim((1+Dx\х0)a-1)\Dx

(1+Dx\х0)a-1  (б.м. при Dх®0)~a*Dх\х0 =  x0alima*Dх\х0\Dх= x0a*a\ x0a-1

(x0)’= axa-1; (x1\2)’=1\2x1\2; (1\x)’ = 1\x2

3)f(x)=ax x0®x0+Dx

f(x0)=ax0  f(x0±Dx)=ax0+Dx    Dy= f(x0+Dx)- f(x0)=ax0(aDx-1)

lim(Dx®0) ax0(aDx-1)\Dx= ax0lim(aDx-1)\Dx= ax0lna;   (ax)’= ax0lna

4) f(x)=lnx x0®x0+Dx

f(x0)=lnx0, f(x0+Dx)=ln(x0+Dx)  Dy= f(x0+Dx)- f(x0)=ln(x0+Dx)-ln x0=ln(x0+Dx)\(x0) = ln(1+Dx\х0);  lim(Dx®0)Dx\Dy= lim(Dx®0) ln(1+Dx\х0)\Dx= lim(Dx®0)Dx\x0\Dx=1\x0  ln(1+x)(x®0)~xÞ(ln(x))’=1\x

5) y=sinx x0®x0+Dx

f(x0)=sinx0  f(x0+Dx)=sin(x0+Dx)  Dy = sin(x0+Dx) - sinx0=2sinDx\2*cos(x0+Dx\2)   sina-sinb= 2*sin(a-b)\2*cos(a+b)\2   lim(Dx®0) Dy\Dx=2*lim(sinDx\2* cos(x0+Dx\2))\Dx = 2lim cos(x0+Dx\2)*lim sin(Dx\2)\Dx=2cosx0 Þ (sinx)’=cosx

6)f(x)=cosx (cosx)’=-sinx