1)lim(x®0)(ln(1+x))\x=1 (0\0) lim(x®0)(ln(1+x))\x=lim(x®0)ln(1+x)1\x=
=ln[lim(x®0)(1+x)1\x]
2)lim(x®0)(ax-1)\x=lna (0\0) U= ax-1®0 ax=U+1 x®0
x=loga(U+1)=ln(U+1)\lna lim(U®0)U\ln(U+1)= lim(U®0)1\ln(U+1)\Ulna=1\lim ln(U+1)\Ulna=lna
11.б.б. и б.м. ф-ии: ограниченная ф-ия f(x) – б.м. при х®х0 если lim(x®x0)f(x)=0, т.е. если для всех e >0 существует d=d(e)>0 для любого х, 0< êx-x0 ê< d ½f(x)½<e
ограниченная ф-ия f(x) – б.б. при х®х0 если lim(x®x0)f(x)=¥, т.е. если для всех e >0 существует d=d(e)>0 для любого х, 0< êx-x0 ê< d ½f(x)½>e
связь: 1) ф-ия обратная б.м. есть б.б. 2)если f(x) – б.б. при x® x0, то ф-ия 1\f(x) – б.м. при x® x0
сравнение б.м. пусть a(х) и b(х) – б.м. при x® x0 т.е. lim a(х)( x® x0)=0; . lim b(х)( x® x0)=0;
1) Если lim a(х)\ b(х) ( x® x0)=0, то говорят, что a(х)-б.м. более высокого порядка чем b(х) ® 0 a(х)=0(b(х)) (x® x0)
2) Если lim a(х)\ b(х) ( x® x0)®¥, то говорят, что b(х)-б.м. более высокого порядка чем a(х) b(х)=0(a (х)) (x® x0)
3) Если lim a(х)\ b(х) ( x® x0)=А¹0 a(х) и b(х) – б.м. одного порядка a(х)=0(b(х)) (x® x0) о,О – символы Ландау
4) Если lim a(х)\ b(х) ( x® x0)=1 a(х) и b(х) – эквивалентные б.м a(х) ~ b(х) ( x® x0)
это означает, что в окрестности (.)х0 ф-ии a(х) и b(х) ведут себя почти одинаково
5) Если lim a(х)\ b(х) ( x® x0) не существует то говорят что б.м. a(х) и b(х) несравнимы
12.Непрерывност ф-ии в точке: f(x) – непрерывна в (.)x0, если lim f(х)( x® x0) = f(х0)
по Коши: f(x) – непрерывна в (.)x0, если "e>0 найдётся d = d(e)>0 для любого х, êx-x0 ê< d êf(х)- f(х0)ê< e
на языке приращений: Dх=х-х0 – приращение аргумента в точке х0; Df=f(x)-f(х0) – приращение ф-ии в точке х0; f(x) – непрерывна в (.)x0, если "e>0 найдётся d = d(e)>0 для любого х,½ Dх½<dÞ½Df½<e limDf( x® x0)=0; Ф-ия f(x) – непрерывна в (.)x0,если б.м. приращение аргумента соответствует б.м. приращению ф-ии.
Необходимое и достаточное условие непрерывности: lim f(х)( x® x0) = f(х0) lim f(х)( x® x0-0)(x<0)= lim f(х)( x® x0+0)(x>0)= f(х)
Алгебраические операции с непрерывными ф-ми: Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в (.) х0, тогда: 1) f(x) ± g(x) – непрерывны в (.) х0; 2) f(x) * g(x) непрерывны в (.) х0; 3) f(x) \ g(x) непрерывны в (.) х0; Алгебраические операции с непрерывными ф-ми не выводят их из класса непрерывных.
13. Теорема о непрерывности суперпозиций непрерывных ф-ий: пусть F(x) = f(g(x)) -
суперпозиция ф-ии f и g (сложная ф-ия). Если ф-ия f(y) – непрерывна в (.)х0, а ф-ия f(y) – непрерывна в (.) y0= g(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в (.) х0.
Док-во: возьмём произвольное e >0
1) Если f(y) – непрерывна в (.) y0= g(x0), то e >0 $h>0: "y, ½y-y0½<hÞ½f(y)-f(y0)½<e (*)
2) Если g(y) – непрерывна в (.) x0 e®h®f, то h>0 $ d>0: "x, ½x-x0½<dÞ½g(x)-g(x0)½<h (**)Þ
(*)и(**): "e>0$d>0: "x, ½x-x0½<d ½F(x)-F(x0)½=½f(y(x))-f(y(x0))½<e
lim(x® x0)f(x)= lim(x® x0)f(g(x))= f(g(x0))=f(x0)
14.Точки разрыва ф-ии Необходимое и достаточное условие непрерывности: lim f(х)( x® x0) = f(х0) lim f(х)( x® x0-0)(x<0)= lim f(х)( x® x0+0)(x>0)= f(х). Определение: х0 называется (.) разрыва f(x) если в этой точке ф-ия не определена или определена но не является непрерывной. (.)х0 – (.) разрыва 1-го рода ф-ии f(x) если 1) lim f(х)( x® x0-0)= lim f(х)( x® x0+0)¹ f(х); 2)либо ) lim f(х)( x® x0-0)¹lim f(х)( x® x0+0)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.