Математический аппарат радиотехники. Часть II. Случайные процессы: Учебное пособие, страница 5

Глава 2. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Поставим следующую задачу. Пусть многомерная СВ (случайный вектор) = имеет ПВ  и компоненты другого случайного вектора = функционально связаны с компонентами вектора , т. е. , , … , . Тогда ФР случайного вектора =

=,

где область  определяется неравенствами , .

Пример. Пусть требуется найти ФР и ПВ суммы СВ , т. е. . В соответствии со сказанным ФР случайной величины   есть вероятность попадания точки () в подпространство , или

.

Для  это даст =.
Область интегрирования представлена на рис. 2.1.

Переходя от двойного интеграла к повторному, получим

=.

Для отыскания ПВ суммы СВ  и  , считая записанный интеграл дифференцируемым по параметру , получим ==.

Если СВ  и   независимы, то =, где  и  – ПВ случайных величин  и   соответственно. Таким образом, для независимых СВ, для которых  = , ПВ суммы есть свертка ПВ слагаемых .

Учитывая, что Фурье-образ свертки есть произведение преобразований Фурье сворачиваемых функций, целесообразно ввести в рассмотрение преобразование Фурье ПВ, что возможно, так как для любой ПВ выполняется
условие абсолютной интегрируемости.

Определение. Преобразование Фурье ПВ  определяет характеристическую функцию (ХФ) СВ =. Обратное преобразование Фурье позволяет выразить ПВ через ХФ

.

Различие знаков в показателе экспоненты для прямого и обратного преобразований по сравнению с обычно используемым несущественно, что и отмечено в гл. 5 первой части пособия.

Таким образом ХФ суммы независимых СВ  и   есть произведение ХФ слагаемых, т. е. =.

Характеристическая функция естественно определяется и для многомерных СВ как многомерное преобразование Фурье совместной ПВ случайных величин

=,

=.

Из определения многомерных ХФ видно, что если СВ  независимы, т. е. =, то переменные в многомерном интеграле, определяющем , разделяются и

=.

Вернемся к задаче отыскания ПВ функций от СВ. В рассмотренном примере мы показали, как можно найти ПВ функции от СВ (суммы) путем дифференцирования ФР. Однако можно решить задачу о нахождении ПВ функций от СВ, не обращаясь к помощи ФР.

Поясним это на примере. Пусть требуется найти ПВ случайной величины , связанной со СВ  функциональным соотношением . Будем вначале считать, что  задает взаимно однозначное соответствие между СВ  и  (рис. 2.2).

Можно утверждать, что в силу функциональной связи между  и , вероятность попадания СВ  в промежуток  равна вероятности попадания СВ  в промежуток . Считая  и  малыми, это утверждение можно записать в виде . В пределе при , это равенство станет точным. Знак модуля ставится в силу неотрицательности вероятностей, в то время как величины  и , вообще говоря, имеют знак.

Разрешая уравнение  относительно  (в силу наличия взаимно однозначного соответствия между  и  решение единственно)  и учитывая, что , получим окончательно

.

Рассмотрим случай, когда уравнение  имеет несколько решений (рис. 2.3). В этом случае вероятность попадания СВ  в интервал  есть вероятность объединения двух несовместных событий: попадание СВ  в интервал  и попадание СВ  в интервал . Следовательно,

,

где  – функции, обратные к  fна интервалах однозначности.

Двумерный случай иллюстрируется рис. 2.4. Пусть связь СВ ,  и ,  задается функциями = и = и решения этой системы уравнений = и =. Вероятность попадания СВ  и  в область  равна вероятности попадания СВ  и  в область , что с учетом малости областей  и  можно записать как .

Знак модуля появился вследствие того, что площади  и  ориентированы (направление обхода или положение нормали). Переходя к пределу, получим , где  – определитель Якоби, или якобиан, имеющий смысл масштабного коэффициента при преобразовании элемента площади из системы координат  в систему , связанных между собой записанными выше соотношениями = и =.