Евклидово пространство. Использование неравенства Коши–Буняковского, страница 4

Преимущество ортогональных базисов состоит в том, что для отыскания координат вектора в ортогональном базисе нет необходимости решать линейную систему уравнений. Для ортогонального базиса  координаты вектора, принадлежащего L2 (для функции  f(t)  коэффициенты Фурье), равны:

.

В этой связи актуальной является задача построения на основе линейно независимой системы векторов эквивалентной ей ортогональной системы. Такую возможность дает процедура Грама–Шмидта.

Пусть  – система линейно независимых векторов и нам надо построить ортогональную систему, каждый вектор которой был бы линейной комбинацией векторов системы .

Выберем в качестве первого вектора новой системы  первый вектор исходной, т. е. 1^ = 1. Второй вектор ортогональной системы построим как 2^ = l211^ + 2, где коэффициент l21 выбирается из условия ортогональности 1^ и 2^, т. е. (1^, 2^) = 0 = l21(1^, 1^) + (2, 1^), откуда . Третий вектор 3^ строится как сумма линейной комбинации 1^ и 2^ и третьего вектора исходной системы:

3^ = l322^ + l311^ + 3.

Учитывая ортогональность 1^ и 2^, а также условие ортогональности 3^ двум построенным векторам 1^ и 2^, получим:

; .

Таким образом, в основе процедуры лежит следующая схема: , где . Иллюстрация этой процедуры для R2 (плоскости) приведена на рис. 4.2.

Поясним описанную процедуру с помощью нескольких примеров.

1.  Система функций вида , t ³ 0, где k = 1, 2, … – номер функции, с > 0 – масштабный множитель, является линейно независимой,
так как заменой  сводится к линейно независимой системе ,
k = 1, 2, …, с которой мы уже встречались.

Ортогональная система на промежутке [0, ¥) в соответствии с процедурой Грама–Шмидта строится следующим образом. Первая функция ; вторая , где , таким образом . Такая система используется для аппроксимации корреляционных функций стационарных случайных процессов, о которых пойдет речь в гл.7.

2.  Полиномы Лежандра.

Полиномы Лежандра Pk(t) получаются на основе ортогонализации на промежутке [–1, 1] системы линейно независимых функций . Каждая функция ортогональной системы, строящейся на основе , будет линейной комбинацией степеней t, т. е. Pk(t) = , что представляет собой полином. В соответствии с процедурой Грама–Шмидта P0(t) = t0 = 1;

P1(t) = l10 P0(t) + t, где , т. е. P1(t) = t;

P2(t) = l21 P1(t) + l20 P0(t) + t2,

где , , т. е. P2(t) = t2;

P3(t) = l32 P2(t) + l31 P1(t) + l30 P0(t) + t3, где ,

, , т. е. P3(t) = t3t.

Построенная система полиномов Лежандра нормирована таким образом, чтобы коэффициент при старшей степени равнялся бы единице. Используют и другие способы нормировки (см. гл.6).

В L2 [a, b]  можно ввести метрику, учитывающую, в каких точках промежутка [a, b] возникает отклонение функций друг от друга, т. е.

,

где p(t) – весовая функция. Весовая функция должна быть неотрицательной, и для " f(t) Î  интегралы  должны сходиться.

Система функций  называется ортогональной на промежутке [a, b] с весом p(t), если

,

где  – квадрат нормы по весу p(t).

Система функций , ортогональная с весом p(t), может быть превращена в просто ортогональную, если рассматривать функции .

Ортогонализация системы линейно независимых функций , k = 0, 1, … на различных промежутках с различными весовыми функциями позволяет построить системы ортогональных полиномов , из которых особую роль играют так называемые классические ортогональные полиномы.

Классическими называют ортогональные полиномы, у которых весовая функция p(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению , где t(t)  и s(t)  – полиномы степени не выше первой и второй соответственно. Их конкретный вид определяется интервалом ортогональности, который может быть конечным, полубесконечным, или соответствовать всей числовой оси (–¥, ¥). В табл.4.1 приведены основные характеристики классических ортогональных полиномов.

Табл.4.1