Евклидово пространство. Использование неравенства Коши–Буняковского, страница 2

Это – неоднородная система, иначе совокупность векторов  не была бы базисом (продумать самостоятельно), поэтому она имеет решение, если ее определитель G(1, 2, …, n), называемый определителем Грама, отличен от нуля, т. е.

G(1, 2, …, n) = .            (4.3)

Можно показать, что определитель Грама имеет смысл квадрата объема гиперпараллелепипеда, натянутого на вектора 1, 2, …, n. Для п = 1 это
(1, 1) = ||(1)||2 – квадрат длины вектора 1; для  п = 2  определитель G(1, 2) = || 1||2||2||2 – |(1, 2)|2 – квадрат площади параллелограмма, построенного (натянутого) на векторах 1 и 2, и т. д. Учитывая сказанное, можно утверждать, что для системы линейно независимых векторов определитель Грама G(1, 2, …, n) > 0. Для системы ненулевых ортогональных векторов  G(1^, 2^, …, n^) = .

Определитель Грама можно записать в форме

G(1, 2, …, n) = G(1, 2, …, n – 1),

где  – квадрат нормы вектора  в представлении =+. В этом представлении вектор , называемый проекцией вектора  на подпространство М, натянутое на вектора 1, 2, …, n – 1, представляет собой вектор, принадлежащий М и максимально близкий,  в смысле используемой метрики, к вектору , т. е. |||| = , где минимизация ведется по всем векторам , принадлежащим М.

При разложении вектора  по ортогональному базису  квадрат нормы вектора  будет равен

||||2 = (,) = .

Если базисная система ортонормальна  (), то ||||2 =. Это соотношение часто называют равенством Парсеваля.

Координаты вектора  относительно ортогонального базиса  равны хп = , а для ортонормального  хп = . Читателю предлагается самостоятельно доказать данные утверждения.

С учетом приведенных результатов скалярное произведение в Сп записывается как (, ) =, а в Rn  (, ) =, где хk и yk – координаты векторов  и  в ортонормальном базисе.

Часто бывает удобным введение базиса , взаимного с базисом . Базис  называется взаимным с базисом , если составляющие его вектора попарно ортогональны с векторами базиса , т. е. , i = 1, 2, …, n, где  – символ Кронекера.

Если базис  является ортонормальным, то он совпадает со своим взаимным базисом. При использовании взаимных базисов  и  для любого вектора , принадлежащего линейному пространству Rn или Сп, в котором  является базисом, можно записать

.

Взаимный базис используется при переходе от одного базиса к другому.

Приведем примеры евклидовых пространств и ортогональных базисов в них.

1.  В Rn ортонормальным базисом является введенный выше базис с векторами 1^= (1, 0, …, 0); 2^= (0, 1, …, 0); n^= (0, 0, …, 1). Его частным случаем для трехмерного пространства R3 являются орты .

2.  В пространстве L2 [a, b] скалярное произведение функций f(t) и g(t) определяется как , а  в L2 как .

Если L2 [a, b] или L2 – вещественные функциональные пространства, то знак комплексного сопряжения “*” опускается.

В L2 [a, b] используются разнообразные базисы, из которых важнейшим является тригонометрический базис, состоящий из функций 1, , , k = 1, 2, … . Для промежутка длиной 2p базисной будет система функций 1, cos kt, sin kt. Базисной будет и система , k = 0, ± 1, ± 2, … . Поскольку  = cos kt + j sin kt, т. е.  каждая функция этой системы является линейной комбинацией функций предыдущей, то обе системы эквивалентны.

Базисные функции не обязательно должны быть непрерывными. Так, в L2 [0, 1]  можно построить ортонормальную базисную систему функций Хаара, определяемую следующим образом.  Функция Хаара cmj(t) отлична от нуля на двоичном промежутке , где m = 1, 2, … , а j = 1, 2, …, 2m-1.  На левой половине двоичного отрезка  функция Хаара cmj(t) = , а на правой половине  соответственно cmj(t) = –. Обычно для нумерации функций Хаара используют один индекс
k =  2m1 + j, m = 1, 2, … ; j = 1, 2, …, 2m1. При таком обозначении нумерация функций Хаара ck(t) начинается с k = 2. При этом c1(t) полагается равной единице на всем промежутке [0, 1]. На рис. 4.1 приведены первые четыре функции Хаара. Более подробное знакомство с функциями Хаара мы отложим до гл. 6, посвященной специальным функциям.