Определение выражения установившегося напряжения резистора в схеме RC-цепи первого порядка

Страницы работы

Содержание работы

Классический анализ переходных процессов в RC-цепях

первого порядка

Задача 6.6

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Определите выражение установившегося напряжения u1(t) резистора R1 в схеме цепи Рис. 6.1 и постройте его график, если

, (Рис. 6.2);

Iкm = 10 мА, T = 20 мс, R1 = 600 Ом, C2 = 10 мкФ, R3 = 400 Ом.

 

Решение.

Решим эту задачу в результате временнóго анализа процесса в цепи.

Выберем относительное локальное время (0 £  £ T), начало отсчёта которого совпадает с началом действия очередного импульса периодического напряжения uo(t).

a)

b)

Рис. 6.3

Составим уравнение состояния цепи (Рис. 6.3, a): дифференциальное уравнение для напряжения конденсатора u2(t¢) – переменной состояния цепи. Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации *, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t¢. Для схемы цепи Рис. 6.3, a в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис. 6.3, b. Из этой схемы находим выражение тока конденсатора i2(t¢):

.

Обратите внимание на то, что множительпри i2 представляет собой взятое со знаком минус выражение проводимости пассивного двухполюсника (“освобождённого” от источника тока) относительно полюсов конденсатора.

Сокращая последнее выражение на C4, получаем искомое уравнение состояния записанное в нормальной форме (форме Коши):

,

где                  с-1;

 Ом/с.

Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между “начальным” u2(0–) и “стартовыми” u2(0+) значениями напряжения конденсатора

u2(0+) = u2(0–) .

Аналогичным образом находится условие непрерывности функции u2(t¢) при t¢ = T/2

.

С учётом условия периодичности и непрерывности напряжения конденсатора u2(t) находим условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений напряжения конденсатора u2(t¢) на интервале [0, T] относительного времени t¢

u2(0+) = u2(T–).

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния (независимой переменной) цепи при 0 £ t¢ £ T – напряжения конденсатора u2(t¢), а затем для тех же моментов времени t¢ найдём выражение искомой зависимой переменной – напряжения u4(t) резистора R4.

I этап. При 0 £ t¢ £ T напряжение конденсатора представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора;  – его свободная составляющая.

Выражение принуждённой составляющей напряжения конденсатора ищем в виде

Рис. 6.4

.

Значение комплексной амплитуды принуждённой составляющей напряжения конденсатора  вычислим из анализа комплексной схемы цепи (Рис. 6.4). Обозначим

 рад/с.

Значение Um2 найдём по формуле, дуальной формуле “r”:

,

где                                           А,

 См2.

Тогда

 В.

Попутно вычислим значение комплексной амплитуды принуждённой составляющей искомого напряжения резистора

 В.

Запишем теперь выражения принуждённых составляющих напряжений конденсатора u2пр(t¢) и резистора u1пр(t¢):

 В

 В

Для составления выражения свободной составляющей напряжения конденсатора получим сначала характеристическое уравнение цепи и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

,

единственный корень которого равен

 с-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t рассматриваемой цепи равно

 мкс.

При единственном корне характеристического уравнения

 В

В соответствии с принятым представлением при 0 £ t¢ £ T напряжение конденсатора

 В.

Используя условие сопряжения “стартового” и “финишного” значений напряжения конденсатора u2(t¢) на интервале [0, T], а также условие его непрерывности при t¢ = T/2 приходим к системе уравнений

,

,

имеющей следующее решение

 В,

                     В.

Следовательно, напряжение конденсатора u2(t¢) в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T представляется выражением:

 В.

Проверка:                     u2(0+) = u2(T–) = 1.01 В;

=2.74 В.

II этап. Выражение напряжения u1(t¢) резистора R1 в цепи (Рис. 6.1) при 0 £ t¢ £ T получим по её схеме замещения (Рис. 6.3, b), в которой на основании принципа компенсации конденсатор заменен источником найденного напряжения u2(t):

 В.

Здесь

,            Ом.

Тогда

Похожие материалы

Информация о работе