Классический анализ переходных процессов в RC-цепях второго порядка

Страницы работы

Содержание работы

Классический анализ переходных процессов в RC-цепях

второго порядка

Задача 6.4

Рис. 6.1

Запишите выражение тока i1(t) конденсатора C1 в схеме цепи Рис. 6.1 после коммутации и постройте их графики, если  В, C1 = 60 мкФ, R2 = 400 Ом, C3 = 20 мкФ, R4 = 100 Ом.

Решение.

Совместим момент коммутации ключа в цепи Рис. 6.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, то есть с моментом времени t = 0, когда

                         В,               .

В качестве переменных состояния (независимых переменных) цепи после коммутации ключа (при t ³ 0) выберем напряжения конденсаторов u1(t) и u3(t). По умолчанию считается, что цепь накануне коммутации (t < 0) находится в гармоническом процессе. Из схем цепей Рис. 6.2, эквивалентных исходной схеме Рис. 6.1, вычислим значения напряжений u1(0–) и u3(0–) конденсаторов C1 и C3 к моменту коммутации – их начальные значения.

a)

b)

Рис. 6.2

Из схемы цепи до коммутации в стационарном состоянии (Рис. 6.3, a) находим начальное значение напряжения u1(0–) конденсатора C1 (*)

u1(0–) = 0 В.

Из комплексной схемы замещения (Рис. 6.3, b) второго фрагмента исходной схемы (Рис. 6.2, b) вычислим сначала значение комплексной амплитуды напряжения Um3 конденсатора C3:

a)

b)

Рис. 6.3

,

где – G4 проводимость резистора R4

 См;

jwC3 – комплексная проводимость конденсатора C3:

 См;

Uom – комплексная амплитуда задающего напряжения

 В.

Тогда

 В.

Запишем далее выражение мгновенного напряжения конденсатора u3(t) до коммутации (t < 0)

 В.

И, наконец, вычислим его значение к моменту коммутации

 В.

начальное значение напряжения конденсатора C3.

a)

b)

Рис. 6.4

Составим теперь систему дифференциальных уравнений для переменных состояния цепи после коммутации u1(t) и u3(t) (Рис. 6.4, a). Считая известными выражения их мгновенных значений и опираясь на известный принцип компенсации (*), изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0 (Рис. 6.4, b). Из этой схемы находим выражения токов i1(t) и i3(t) конденсаторов C1 и C3:

,

,

где

 См.

Сокращая первое из этих выражений на C1, а второе – на C3, получаем искомую систему уравнений состояния цепи, записанную в нормальной форме (форме Коши):

или

при                                                 u1(0–) = 0 В,

                                                       u3(0–) = – 79.692 В.

Интегрируя их в пределах от 0– до 0+, получаем соотношения между начальными u1(0–), u3(0–) и стартовыми u1(0+), u3(0+) значениями напряжений конденсаторов, известные в теории как выражение второго закона коммутации:

u1(0+) = u1(0–) = 0 В,

u3(0+) = u3(0–) = – 79.69 В.

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражения переменных состояния (независимых переменных) цепи при t ³ 0 – напряжений конденсаторов u1(t) и u3(t) после замыкания ключа, а затем для тех же моментов времени t получим выражение искомой зависимой переменной – тока i1(t) конденсатора C1 цепи Рис. 6.4..

I этап. При t ³ 0 выражение напряжения каждого конденсатора представим суммой двух составляющих

,

.

где u1пр(t) и u3пр(t) – выражения принуждённых составляющих напряжений конденсаторов, совпадающих с их гармоническими составляющими; u1ñâ(t) и u3св(t) – выражения свободных составляющих этих величин, представляющие собой общее решение системы дифференциальных уравнений состояния цепи.

Из комплексной схемы цепи после коммутации (Рис. 6.5) находим сначала значения комплексных амплитуд Um1 и Um3 принуждённых составляющих напряжений u1пр(t) и u3пр(t) конденсаторов C1 и C3. Обозначим

Рис. 6.5

Rэ = R2 + R4 = 400 + 100 = 500 Ом,

 мкФ

Тогда

,

 В;

Очевидно

 В.

Запишем теперь выражения принуждённых составляющих напряжений конденсаторов u1пр(t) и u3пр(t) (t ³ 0)

 В,

 В.

Здесь же найдём выражение принуждённой составляющей тока i1пр(t) конденсатора C1:

 А;

 А.

Общее решение системы уравнений состояния цепи есть решение однородной системы дифференциальных уравнений

,

которую можно записать в виде матричного дифференциального уравнения

,

где                               с–1.

Составим характеристическое уравнение матрицы A однородной системы дифференциальных уравнений, оно же характеристическое уравнение цепи:

,

которое представляет собой условие существования нетривиального решения векторного уравнения (здесь E – единичная матрица). Перепишем его подробно

;

раскроем определитель, получим уравнение . Его корни p1 = 0 и p2 = – 133.33 с–1 – характеристические числа матрицы A.

Проверка. Произведение корней характеристического уравнения равно значению определителя матрицы A, которое, в свою очередь, равно значению свободного члена характеристического уравнения:

.

Вычислим теперь значения собственных векторов матрицы A системы дифференциальных уравнений, соответствующие найденным значениям характеристических чисел.

Найдём собственный вектор матрицы A, отвечающий её собственному числу (значению) . Пусть

,

.

Составим систему уравнений для определения V11 и V21:

или

,

.

Полагая , находим  или собственный вектор

.

Найдём собственный вектор матрицы A, отвечающий её собственному числу (значению)  с–1. Пусть

,

.

Составим систему уравнений для определения V12 и V22:

или

,

Полагая , находим  или собственный вектор

.

Похожие материалы

Информация о работе