Определение выражений токов резисторов в схеме цепи после коммутации и построение их графиков

Страницы работы

Содержание работы

Задача 2

Рис. 1

Определите выражения токов i1(t) и i2(t) резисторов R1 и R2 в схеме цепи Рис. 1 после коммутации и постройте их графики, если Uo1 = 100 В, R1 = 500 Ом, Uo2 = 50 В, R2 = 500 Ом, C3 = 10 мкФ, C4 = 40 мкФ.

Решение.

Рис. 2

Совместим начало отсчёта относительного времени t (t = 0) с моментом коммутации в цепи Рис. 1. По умолчанию эта цепь до коммутации (t < 0) находится в стационарном состоянии. Из схемы цепи в стационарном состоянии (Рис. 2) находим начальные значения напряжений конденсаторов u3(0–) и u4(0–), т. е. их значения накануне коммутации (t = 0–) *

Рис. 3

Рис. 4

u3(0–) = Uo1 = 100 В,                 u4(0–) = – Uo2 = – 50 В.

В качестве переменной состояния (независимой переменной) цепи после коммутации (Рис. 3) выберем напряжение одного из двух конденсаторов, например, напряжение u3(t) конденсатора C3. В этом случае напряжение u4(t) конденсатора C4 станет зависимой переменной цепи, являющейся линейной функцией переменной состояния

u3(t) = u4(t).

Составим затем уравнение состояния цепи после коммутации, в котором искомой функцией будет переменная состояния цепи – напряжение u3(t) конденсатора C3. Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации ** , изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи Рис. 3 в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис.4. Из неё находим выражение тока i3(t) конденсатора C3:

i3 = i1 + i2i4

или, поскольку u1(t) = Uo1u3(t), u2(t) = – (Uo2 + u4(t)),

                            .

Интегрируя это выражение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальными u3(0–), u4(0–) и стартовыми u3(0+), u4(0+) значениями напряжений конденсаторов

.

С учётом равенства стартовых значений напряжений конденсаторов

u3(0+) = u4(0+)

находим

 В.

Как видим, значения напряжений конденсаторов изменились скачком. Нетрудно показать, что конечное изменение значений напряжений конденсаторов за бесконечно малое время коммутации обусловлено бесконечно короткими импульсами бесконечно больших токов конденсаторов *. Действительно, значения токов конденсаторов i3(0) и i4(0) в момент коммутации:

 А,

 А.

Таким образом, конденсатор C3 мгновенно разряжается (i3(0) < 0), а конденсатор C4 мгновенно заряжается (i4(0) > 0) одинаковыми токами от различных начальных значений напряжений u3(0–) = 100 В, u4(0–) = – Uo2 = – 50 В до одинаковых стартовых значений напряжений u3(0+) = u4(0+) = – 20 В.

До коммутации энергия конденсаторов равна

 Дж.

После коммутации энергия обоих конденсаторов

 Дж

стала меньше. Очевидное нарушение закона сохранения энергии в рассматриваемой задаче объяснить невозможно.

Вернёмся к выражению

.

Отсюда, после несложных преобразований, учитывая равенство напряжений конденсаторов u3(t) = u4(t) при t ³ 0, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

 .

Здесь

 с-1;

 с-1.

 В

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния цепи u3(t) (независимой переменной) после замыкания ключа (при t ³ 0), а затем для тех же моментов времени t получим выражение искомых зависимых переменных – токов i1(t) и i2(t) резисторов R1 и R2 в схеме цепи Рис. 3.

I этап. При ³ 0 напряжение u3(t) конденсатора C3 представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора C3, совпадающая с его установившимся значением;  – свободная составляющая напряжения конденсатора.

Рис. 5

Из схемы цепи после коммутации в стационарном состоянии (Рис. 5) находим

 В

Для составления выражения свободной составляющей напряжения u3(t) конденсатора C3 получим сначала характеристическое уравнение цепи и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

,

единственный корень которого равен

 с-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t цепи равно

 .

При единственном корне характеристического уравнения

 В.

В соответствии с принятым представлением при ³ 0 напряжение конденсатора C3

.

Полагая здесь t = 0+, находим

 В.

Следовательно, напряжение конденсатора u3(t) в цепи после коммутации (Рис. 3) представляется выражением:

 В  при ³ 0.

II этап. Выражение напряжения u4(t) конденсатора C4 в цепи после коммутации (Рис. 6.3)

 В  при ³ 0.

Запишем выражения искомых токов i1(t) и i2(t) резисторов R1 и R2 в схеме цепи Рис. 6.3

А,

А.

Проверка:

Проверим, соблюдается ли баланс токов элементов исследуемой цепи в независимом, например, верхнем узле схемы (Рис. 6.3):

При известном выражении напряжения конденсатора u3(t) зависимость его тока i3(t) от времени определяется его динамической характеристикой:

 А.

Аналогичным образом находится выражение тока конденсатора C3:

 А,

Следовательно,

Полученные выражения токов элементов цепи после коммутации удовлетворяют ограничению, налагаемому первым законом Кирхгофа.

Зависимости i1(t) и i2(t) на интервале 0 £ t £ 60 мс с шагом 6 мс представлены в таблице и на Рис. 6.

Таблица

t, мс

0

6

12

18

24

30

36

42

48

56

60

i1(t), А

0.24

0.206

0.184

0.171

0.163

0.158

0.155

0.153

0.152

0.151

0.151

i2(t), А

-0.06

-0.094

-0.116

-0.129

-0.137

-0.142

-0.145

-0.147

-0.148

-0.149

-0.149

Рис. 6

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

,

в котором

a = – 80 с-1,              с-1.

 В

Результаты численного и аналитического исследования переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере до трёх цифр после запятой мантисс мгновенных значений токов i1(t) и i2(t) резисторов R1 и R2.



* Напомним, что конденсатор в стационарном состоянии эквивалентен разъёму.

** Любой элемент с известным значением напряжения может быть эквивалентно заменён источником напряжения известного значения.

* Токов, выражаемых через d-функцию (функцию Дирака) d(t) = s¢(t).

Похожие материалы

Информация о работе