Классический анализ переходных процессов в RС-цепях первого порядка

Страницы работы

6 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Классический анализ переходных процессов в RС-цепях

первого порядка

Задача 6.8

Рис. 6.1

Запишите выражение и постройте график тока iо(t) источника напряжения uо(t) после замыкания ключа в цепи Рис. 6.1, если R1 = 2 кОм, C2 = 2 мкФ, R3 = 1 кОм, C4 = 1 мкФ, а  В.

Решение.

Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что схема цепи после коммутации содержит два конденсатора C2 и C4. Однако, в схеме цепи, освобождённой от источника напряжения, они включены параллельно и могут быть заменены одним эквивалентным конденсатором ёмкостью C2 + C4. Такая схема описывается однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому цепь после коммутации является цепью первого порядка.

Сначала решим эту задачу аналитически.

Совместим момент коммутации в цепи Рис. 6.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, то есть с моментом времени t = 0, когда

 В,               .

Рис. 6.2

По умолчанию эта цепь до коммутации (Рис. 6.2) находится в стационарном состоянии, в котором напряжения u2(t) и u4(t) конденсаторов С2 и С4 при t < 0 равны нулю. Следовательно, начальные (то есть накануне коммутации) значения напряжений конденсаторов также равны нулю:

u2(0–) = 0,                  u4(0–) = 0.

В качестве переменной состояния (независимой переменной) цепи после замыкания ключа (при t ³ 0) выберем напряжение одного из двух конденсаторов, например, напряжение u2(t) конденсатора С2. В этом случае напряжение u4(t) конденсатора C4 станет зависимой переменной цепи, являющейся линейной функцией переменной состояния u2(t) (и задающего напряжения uo(t))

u4(t) = uo(t) – u2(t).

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Составим затем уравнение состояния цепи после коммутации, в котором искомой функцией будет переменная состояния цепи – напряжение u2(t) конденсатора C2. Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации *, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи Рис. 6.3 в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис. 6.4. Из неё находим выражение тока i2(t) конденсатора C2:

i2 = – i1 + i3 + i4

или, поскольку u1(t) = u2(t),

.

Интегрируя это выражение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальными u2(0–), u4(0–) и стартовыми u2(0+), u4(0+) значениями напряжений конденсаторов

.

С учётом связи стартовых значений напряжений конденсаторов

u4(0+) = uo(0) – u2(0+)

находим

 В.

Вернёмся к последнему выражению тока конденсатора C2, из которого, после несложных преобразований, учитывая линейное соотношение

u4(t) = uo(t) – u4(t),

справедливое при t ³ 0, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

 

Здесь

 с-1;

 с-1;

.

Далее, как обычно, задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния цепи u2(t) при t ³ 0 – напряжения конденсатора C2 после замыкания ключа, а затем для тех же моментов времени t найдём выражение искомой зависимой переменной – тока iо(t) источника напряжения uо(t) цепи Рис. 6.3.

I этап. При t ³ 0 напряжение конденсатора C2 представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора C2, совпадающая с его гармонической составляющей;  – свободная составляющая напряжения конденсатора.

Рис. 6.5

Из комплексной схемы цепи после коммутации (Рис. 6.5) находим сначала комплексную амплитуду Um2 принуждённой составляющей напряжения конденсатора u2пр(t):

 В.

Вычислим попутно выражение значение комплексной амплитуды Imo принуждённой составляющей тока ioпр(t) источника напряжения uо(t):

 А.

Запишем далее выражения принуждённых составляющих переменной состояния цепи u2(t) и искомого тока io(t) источника напряжения (t ³ 0)

 В

 А.

Для составления выражения свободной составляющей составляющих переменной состояния цепи получим сначала характеристическое уравнение и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

Похожие материалы

Информация о работе