Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, страница 9

.

Это уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве. Вектор а называется направляющим вектором прямой.

            Запишем векторное уравнение в координатной форме. r_М  = xi + yj + zk,

r_М0 = x₀ i + y₀ j + z₀ k, a t = mti + ntj + ptk, поэтому

            Эти уравнения называется параметрическими уравнением прямой в пространстве. Исключим из этих уравнений параметр t: . Уравнения

называется каноническими уравнениями прямой в пространстве.

            Прямая в пространстве может задаваться также как пересечение двух непараллельных плоскостей:

векторы N₁(A₁, B₁, C₁)  и N₂(A₂, B₂, C₂) неколлинеарны. Система

 называется общими уравнениями прямой. Для того, чтобы привести общие уравнения к каноническим или параметрическим уравнениям, необходимо найти какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор. Для нахождения точки надо решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными; так как векторы N₁ и N₂ неколлинеарны, один из миноров матрицы  отличен от нуля. Пусть, например, отличен от нуля минор . Задав значение у произвольно, находим х и z, точка (х, у, z) и будет точкой прямой. Направляющий вектор а находится как векторное произведение векторов N₁ и N₂: а = N₁^хN₁.

            Примеры: 1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой  

Здесь N₁ = (2, -3, 4), N₂ = (3, 2, -6), поэтому . Для нахождения точки, принадлежащей прямой, положим , z = 0 (минор ). Из системы  находим х = 2, у = 1, следовательно, М₀ = (2, 1, 0). Канонические уравнения прямой: . Параметрические уравнения прямой:

            2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂).

            Естественно, в качестве направляющего вектора в этом случае проще всего взять вектор М₁М₂(x₂ – x₁, у₂ – у₁, z ₂ – z ₁), в качестве точки прямой можно взять любую из точек М₁ или М₂. В результате канонические уравнения будут иметь вид , параметрические