Нахождение вынужденных симметричных колебаний

Нахождение вынужденных

симметричных колебаний

Чтобы появились автоколебания на вход системы надо вынужденно подать сигнал от генератора гармонических сигналов f(t).

Уравнение нелинейной системы:

x×Q(p)+R(p) × F(x,px)=S(p) ×f(t),                             (1)

где f(t) - сигнал от генератора, f(t)=B sin ω_вt;

ω_в - частота вынужденных колебаний,

В - амплитуда вынужденных колебаний.

Считается, что функция f(t)=B sin ω_вt задана.

Решение ищем в виде: х=А (sin ω_вt+φ).

С функцией F(x,px) производим гармоническую линеаризацию:

Тогда уравнение (1) будет:

Преобразуем функцию f(t):

Из уравнения (2) выразим sin:

Для нахождения cos продифференцируем sin:

Найденные cos и sin подставляем в функцию f(t):

Тогда уравнение (3) будет:

Графоаналитический способ

нахождения вынужденных симметричных колебаний

Рассматриваем уравнение

Решение х=0 не удовлетворяет, т.к. решение ищем в виде х=А (sin ω_вt+φ).

Тогда рассматриваем уравнение:

Делаем подстановку p=jω_в:

Вводим обозначение: cosφ- jsinφ=e^-jφ, находим функцию z(A):

Здесь Вe^-jφ - угол по окружности  с радиусом r = В.

При известном В находим z(A) и φ.

Если В<Вкр, то z(A) с окружностью пересекаться не будут, в системе автоколебания не возникают.

Вкр - критическая амплитуда или амплитуда захвата.

Далее решаем задачу совместного нахождения В и ω_в.

Для этого строят зависимость

Автоколебания вида х=А (sin ω_вt+φ) возникают только во II зоне.  I  и III - зоны сложных колебаний.

Если Вкр=0, то z(A) проходит через начало координат, т.е. вынужденные колебания возникают без генератора вынужденных колебаний

Аналитический способ отыскания симметричных вынужденных колебаний

Используем исходное уравнение

 (1)

Введем обозначение:

а числитель уравнения (1):

Тогда уравнение (1) будет:

Умножим числитель и знаменатель на комплексное сопряженное знаменателю выражение:

Выделяем вещественную и мнимую части, в результате получаем систему двух уравнений:

Возведем в квадрат и сложим (воспользуемся формулой cos²а + sin²а = 1):

Отсюда находим А и φ:

 - это уравнение для нахождения А, т.к. x и y зависят от А x=f(A), y=f(A);

Нахождение вынужденных

несимметричных колебаний

Вынужденные несимметричные колебания могут возникнуть в системе, когда на входе действует медленно меняющаяся функция времени и если нелинейность F(x,px) несимметрична относительно начала координат.

 Характеристическое уравнение системы:

               (1)

где f₁ - медленно меняющаяся функция времени, для которой справедливо условие

,

Если вынужденные колебания несимметричны, то решение ищем в виде:

x=x₀+x^*=x₀+Asin(ω_вt+φ);

где x^*=Asin(ω_вt+φ).

Выполним гармоническую линеаризацию с F(x,px):

После подстановки p=jω:

Функцию  f₂(t) находим как для вынужденных симметричных колебаний (добавить самостоятельно – см. выше):

Подставляем F(x,px) и f₂(t) в уравнение (1) и к полученному уравнению (добавить самостоятельно) применяем принцип суперпозиции: разбиваем его на два уравнения – для медленно меняющейся функции времени и для периодической составляющей

Так как решение ищем в виде x^*=Asin(ω_вt+φ), то решение x^*=0 не удовлетворяет, поэтому далее рассматриваем уравнение

        (2)

Делаем замену p=jω_в и выражаем f₂(t):

Тогда уравнение (2) будет:

Правая часть этого выражения представляет собой комплексное число в тригонометрической форме, преобразуем его в  показательную, в результате получаем уравнение (добавить самостоятельно):

Это уравнение можно решить графически и аналитически, но в любом случае имеем два уравнения (вещественной и мнимой частей) и три неизвестных (А, х₀ и φ). В результате решения получаем:

                                        (3)

После нахождения А и φ подставляем их в функцию F(A(x₀),φ(x₀)) и получаем функцию смещения, которая может быть линеаризована обычным способом: Ф(х₀)=кх_0.

Функцию смещения подставляем в уравнение (1) и из этого уравнения находим х₀(t) через обратное преобразование Лапласа (добавить самостоятельно), найденную функцию х₀(t) подставляем в систему (3) и находим А и φ.

Если функция смещения Ф(х₀) не допускает линеаризации в обычном смысле (получается в виде нелинейного элемента), то производят повторную линеаризацию с функцией Ф(х₀). Далее процедура нахождения колебаний повторяется.