Построение переходных процессов в импульсных системах. Построение переходных процессов по разложению z-преобразования в степенной ряд

Построение переходных процессов в импульсных системах (ИС).

Динамические свойства ИС можно характеризовать с помощью переходной характеристики и импульсной переходной характеристики β[n;ε], k_р[n;ε]. Эти характеристики имеют тот же физический смысл что и для непрерывных систем (НС). Переходная функция может быть найдена по реакции системы на дискретное единичное воздействие на входе. Дискретное значение весовой функции определяется реакцией системы на единичный импульс. Переходная функция (ПФ) замкнутой ИС может быть построена по ее дискретным изображениям.  ПФии найдем из ПФ замкнутой ИС.

Т.к. рассматриваемый вопрос (характеризирующие переходные функции), то не входе получаем ступенчатое воздействие, для которого изображение ,

, или относительно z преобразования .

Задача: нужно найти оригинал β[n;ε] (решетчатую ПФ) по ее дискретным изображениям.

Существует 3 способа:

1. нахождение β[n;ε] непосредственно по изображению β^*[q;ε], используя таблицы дискретного преобразования Лапласа. Этот способ удобен, если изображение ПФ представлено сразу в табличном виде (ил можно преобразовать к табличному виду путем простейших операций).

2. для систем любого порядка, наиболее общий. Состоит в разложении изображений ПФ в ступенчатый ряд по степеням z.

3. нахождение ПФ на основании разностных уравнений.

 Построение переходных процессов по разложению z преобразования в степенной ряд (2й способ).

Изобр-е ПФ опред-я по выражению: (1), или для единич-о ступенчатого воздействия будет . В общем виде изображение ПФ можно представить в виде полиномов.

 (2), где k≤l.

Используя формулу z-преобразования можно записать (3)

В выражении (3) коэффициенты при соответствующих степенях z равны значениям ПФ в конкретный момент времени. Чтобы найти ПФ β[n;ε] надо найти коэфф-ы при соотв-х степенях z. Для этого поделим уравнение (2) на z^l. Получаем:

 в полученном выражении вынесем общий множитель z^k-l.

(4)

Приравниваем правые части уравнений (3) и (4).

Переносим z^k-l в правую часть

По теореме определения дискретного преобразования Лапласа можно записать

(5)

Тогда уравнение (5) будет

Находим коэфф-ы при соответствующих степенях z.

Z⁰  

Z¹    

Z²   

Из этих полученных выражений выражаем β

В результате получаем

используя выражение (6) можно рассчитать последовательные дискретные значения ПФ начиная с момента времени l-k , т.е. первое расчетное значение будет β[l-k;ε]. До этого значения времени ПФ равна 0. Здесь lстепень полинома знаменателя изображения ПФ (2), где k≤l, если k= l, то первое расчетное значение β[0;ε]. Задаваясь значениями 0≤ε≤1 можно найти значение ПФ β[n;ε] внутри интервала чередования импульсов.

Построение переходных процессов первым способом.

Путем обратного преобразования z-изобр-я ПФи β^*[z;ε].

Если изображение ПФ найденное по выражению  представлено в табличном виде может быть легко преобразовано к виду табличных изображений, то выполняют обратное преобразование: находят оригиал – решетч-ю ф-ю  β[n;ε]. Задаваясь значениями nнаходят значения ПФ в данные моменты квантования и строят на плоскости график.