Матрицы. Линейные уравнения. LU-разложение. Дифференциальные уравнения. Экспонента от матрицы, страница 2

3) в следующей 2–й строке все элементы вновь делим на новое значение а^’₂₂ и затем повторяем п. 2 для этих i–х строк, вычитая уже 2–ю строку и т.д.

Пример

Отсюда расширенная матрица [A, b]

И окончательно получаем

Или в обычном виде

Разновидностью метода исключения является алгоритм Гаусса–Жордана, в котором матрица [A] преобразуется в единичную, а [b] – в столбец с искомыми неизвестными х₁ , х₂, …, х_m , т.е. [A, b] преобразуется в [I, x].

Для этого операцию по п. 2 алгоритма Гаусса надо применить и к выше лежащим строкам.

Рассмотрим тот же пример

Или в обычном виде

LU-разложение

Все виды гауссова исключения связаны с разложением неособенной квадратной матрицы А в произведение двух треугольных – нижней L и верхней U, т.е. А = LU. Это позволяет представить систему Ах = b в виде LUх = b, которая сводится к системам

Ly = b; Uх = y.

Из–за треугольности L и U уравнения решаются без обращения матриц.

Матрица L, как и матрица U, формируется в ходе гауссова исключения, но ее k–й столбец состоит из элементов k–го столбца матрицы А, полученных на предыдущем (k – 1)–м шаге. Т.е. нужно на каждом шаге по главной диагонали и ниже ее сохранять предыдущие значения элементов.

В результате получают квадратную матрицу LU, при чем на диагонали U берутся единицы, а не ее значения.

Тот же пример:

Откуда матрицы L и U равны

Определитель |А| равен произведению диагональных элементов матрицы L

Наконец получаем две системы уравнений:

Это уравнение вида Ly = b.

Это уравнение вида Ux = y.

Дифференциальные уравнения

ДУ 1–го порядка

имеет решение

где х0 – начальное значение при  t = 0; a и b – постоянные коэффициенты. Для матричного уравнения

решение таково

Для нормальной однородной системы ДУ

решение имеет вид

Подставим х в исходное уравнение

Последнее уравнение имеет решение, если

или

 – это многочлен n–й степени, т.е.

Корни уравнения дают значения l i , при которых система ДУ имеет решения.

При простых (попарно различных) корнях уравнения D(l) = 0 и l = l _i из однородного уравнения (l _i I – A) h^{( i )} = 0 можно найти вектор h ^{( i )} . Решение системы ДУ для корней l _i будет x^{( i )} = h^{( i )} e ^{l i t}. Всего таких уравнений будет n.

Для матрицы А матрица |l I – A| называется характеристической, D(l) = 0 – характеристическим уравнением, его корни l _i – собственными значениями, а h^{( i )} – собственными векторами матрицы А.

Общее решение системы имеет вид:

Считая х (i)  столбцами матрицы Х, а ci – элементами столбца произвольных постоянных с , запишем:

В свою очередь

В итоге решение однородной системы

При t = 0 матрица j (t) = I, а х₀ = Н с. Откуда с = Н ^–1 х₀, а общее решение

х = Н j (t) Н ^–1 х₀ = Ф(t) х₀ ,

где Н – модальная матрица,

Ф(t) – фундаментальная матрица.

Для ее определения необходимо знать собственные значения и собственные векторы матрицы А системы ДУ.

Для примера рассмотрим однородную систему ДУ

Для нее

Характеристический многочлен  D (l) получим разложением по 1–й строке. Алгебраические дополнения таковы:

Отсюда D (l) и собственные значения равны:

Собственные векторы находятся из выражения:

Или

Значения коэффициентов k_i произвольны, берутся из соображений удобства.  Примем k1 = 1/2, k2 = –1, k3 = 1/6. Тогда модальная матрица и обратная к ней

Фундаментальная матрица

Ф(t) х = Н j (t) Н ^–1 =

Так как х = Ф(t) х0 , то с учетом начальных условий x10 , x20 , x30

x₁ = (3e ^–t + e ^–2t – 3e ^–3t ) x₁₀ + (–3e ^–t – 2e ^–2t + 5e ^–3t ) x₂₀ + (e ^–2t – e ^–3t ) x_30;

x₂ = (2e ^–t + e ^–2t – 3e ^–3t ) x₁₀ + (–2e ^–t – 2e ^–2t + 5e ^–3t ) x₂₀ + (e ^–2t – e ^–3t ) x_30;

x₃ = (e ^–t + 2e ^–2t – 3e ^–3t ) x₁₀ + (–e ^–t – 4e ^–2t + 5 e ^–3t ) x₂₀ + (2e ^–2t – e ^–3t ) x_30.

Экспонента от матрицы

Матрицу j(t) можно записать

     где   

Подставляя Ф(t) = Н j (t) Н ^–1 в уравнение входа dx(t)/dt = Ax(t), получим

Умножая слева на Н^–1 и справа на Н, получим

Отсюда важные соотношения

L = Н^–1А Н ,      а  А = Н L Н^–1.

Таким образом, любую квадратную матрицу А с различными собственными значениями можно преобразовать в диагональную матрицу, элементы которой – эти собственные значения.

Поэтому экспоненциальную функцию от матрицы А находят по формуле

exp (At) = H exp (L t) H^–1.

Тогда Н будет матрицей преобразования переменных ДУ, т.е. х = Н у.

Подставим х в исходное уравнение

То есть замена переменных приводит к  ДУ с диагональной матрицей, а исходная система уравнений «развязывается» относительно новых переменных. Или

Для неоднородной системы ДУ

решение имеет вид

     (1)

Подставим х(t) в исходное уравнение

После упрощений

     (2)

Начальное значение

Интегрированием (2) получаем

     (3)

Подставляя (3) в (1), найдем решение неоднородной системы ДУ