Теоретический закон распределения. Доверительный интервал, страница 5

где δX-оценка среднеквадратичного отклонения среднего арифметического,

           tp,n-коэффициент Стьюдента.

Оценка среднеквадратичного отклонения среднего арифметического δхарактеризует погрешность результата измерения и находится по формуле:

           δX=δ/√n= √ ∑vi2 / (n2-n),

где vi – остаточная погрешность  i-го измерения,

       δ –оценка среднеквадратичное отклонения.

Остаточная погрешность находится из выражения:

           vi=xi-X,

где  xi-результат измерения в i-ом опыте,

       Х-среднее арифметическое (Х=∑хi/n)

Остаточные погрешности обладают свойствами:

   1) ∑vi=0,

   2) ∑vi2=min (при данном Х).

Оценка среднеквадратичного отклонения δ характеризует точность ряда измерений и степень рассеивания результата измерения вокруг среднего арифметического. Оценку среднеквадратичного отклонения δ можно найти из следующего равенства:

                                   δ = √ ∑vi2 / (n-1)

Результат измерения записыватся в виде: Х-∆1,2< X0 < Х+∆1,2.

Подстатвив значения найдем Х= 0.11489 мкс.

Оценка среднеквадратичного отклонения δ=0,0026 мкс.

Оценка среднеквадратичного отклонения среднего арифметического δX =0,000596 мкс.

Так как  Р=0,99 и n= 19, то tp,n=2,88 и доверительный интервал  ∆1,2=0,00171.

Результат измерения 0,11489-0,00171< X0 <0,11489+0,00171

Найдем относительную квадратичную погрешность результата измерения по формуле:

             γX = (σх / X) * 100%.

Подставив значения получим γX = 0,518%.

Ответ:     γX = 0,518%.      0,11489-0,00171< X0 <0,11489+0,00171

Задача 3. Производятся прямые измерения неких параметров Х,Y и Z, после чего по формуле F=X-5Y-3Z2, рассчитывается результат косвенных измерений физической величины F. Найти коэффициенты влияния относительных погрешностей прямых измерений на относительную погрешность результата косвенных измерений, а также относительную погрешность результата косвенных измерений относительным погрешностям прямых измерений, при относительной погрешности прямых измерений параметров: X=-5 %, Y=-3 % , Z=2 %. 

Решение:

При косвенных измерениях абсолютная погрешность измеряемой величины ΔF является некоторой функцией погрешностей прямых измерений:

ΔF = P(ΔX, ΔY, ΔZ)

Относительная погрешность расчитывается по формуле:

γF = ΔF / F = B1 * γx + B2 * γy + B3 * γz

где B1, B2, B3 – коэффициенты влияния относительных погрешностей γx, γy, γz на относительную погрешность результата косвенных измерений.

Найдем коэффициенты влияния относительных погрешностей γx, γy, γz прямых измерений на относительную погрешность результата косвенных измерений:

           B1 = dF/dX * X/F = (-5*X-5*Y-3*Z2)/(X-5*Y-3*Z2) = -5

           B2 = dF/dY * Y/F = (-3*X-5*Y-3*Z2)/(X-5*Y-3*Z2)= -3

           B3 = dF/dZ * Z/F = (2*X-5*Y-3*Z2)/(X-5*Y-3*Z2)= 2

Относительная погрешность результата косвенных измерений равна:   γF = -5*(-5) +  (-3)*(-5) + 2*(-5)  = 30%