Минором элемента определителя n-го порядка. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Разложения определителя по элементам строки

21.Минором М_ik элемента а_ik определителя D n-го порядка называется определитель (п— 1)-го порядка, получающийся из D вычеркиванием i-и строки и k-го столбца. Алгебраическим дополнением А_ik элемента а_ik  называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+k: A_ik =(-1)^i+kM_ik

Теорема. Если все элементы k-го столбца (строки) определителя D, кроме, быть может, одного, а_ik  равны нулю, то определитель D равен произведению аik на алгебраическое дополнение этого элемента:D = а_ikА_ik Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда в определителе D все элементы первого столбца, кроме а11, равны нулю: D=

                | a₁₁ a₁₂…a_1n|

                | 0   a₂₂… a_2n|

                | ………….  |

                | 0  a_n2…  a_nn|

В каждый член определителя В входит в точности по одному элементу из первого столбца; но так как все эти элементы, отличные от аik,, равны нулю, то в определи­теле О все те члены, в которые из первого столбца вхо­дит не ац, а какой-либо другой элемент, равны нулю. Следовательно,D=∑(-1)^{[1, i2,…,in]}a₁₁a_i22…a_inn,

где индексы i2,…,in принимают значения 2, 3,..., п. Множитель a1 является общим для всех слагаемых, поэтому его можно вынести за знак суммы. С другой стороны, так как единица, стоящая на первом месте, не образует ни одной инверсии, то [1, i2, ..., in]=[i2,…,In] и значит, D=a₁₁∑(-1)^[i2,…,in]a_i22…a_inn, где  суммирование  распространяется   на   всевозможные перестановки i_2, i₃,…,i_n чисел 2, 3, .,., п, А так как сумма ∑(-1)^[i2,…,in]a_i22…a_inn равна определителю (n— 1)-го порядка, получающемуся из Dвычеркиванием первой строки и первого столбца, т. е. равна М₁₁ и А₁₁ =(— 1)¹⁺¹М₁₁ = М₁₁ то D=a₁₁M₁₁=a₁₁A_11.

Рассмотрим теперь общий случай, когда все элементы А-го столбца определителя D, кроме а_ik, равны нулю, т, е. когда определитель имеет вид D=|a₁₁  a₁₂…0…a_1n |

            |a₂₁  a₂₂…0…a_2n|

            |……………….|

            |a_i1   a_i2 …a_ik…a_in|

            |……………….|

            |a_n1  a_n2…0…a_nn|

Переместим i-ю строку  определителя  Dна  

первое место, последовательно меняя ее местами с  (i-1)-й, (i-2)-й, и т. д., наконец, с первой строкой. На это потребуется i—1 транспозиций строк, при каждой из которых определитель умножается на -1. Затем переместим k-й столбец определителя Dна первое место, после­довательно меняя его местами с  (k-1)-м, (k-2)-м, и т. д., наконец, с первым столбцом. Для этого потребуется k-1 транспозиций столбцов, при каждой из которых определитель тоже умножается на -1. В конечном счете мы получим определитель

D₁=|aik ai1…ain |

       |0   a11…a1n|

       |……………|

       |0   an1…ann| отличающийся от определителя Dтолько знаком (-1)•(-1)^k-1=(-1)^I+k. Но, как мы показали, определитель D₁ равен произведению а_ikна определитель (n-1)-го порядка, получающийся из D₁, вычеркиванием первого столбца и первой строки, или, что то же самое, получающийся из Dвычеркиванием k-го столбца и i-и строки, т. е. D₁=a_ikM_ik  и следовательно D=(-1)^I+kD₁=     =(-1)^I+ka_ikM_ik=a_ikA_ik

25. Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E, где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает  что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково. Обратная матрица для  данной единственна Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений Пусть дана матрица n-го порядка (A). (A*)   составлена из алгебр. дополнений к элементам матрицы A

. , 

Рассмотрим произведение AA^*=C={}.

Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .Назовем элементарным преобразованием над строками матрицы одно из действий: а) умножение всех элементов данной строки на одно и то же число k; 
б) прибавление к каждому элементу данной строки с номером i соответствующего элемента, умноженного на число k, из строки с номером j.  Получить из матрицы A матрицу A¢ можно также умножением A слева на матрицу B¢:т.е. элементарное преобразование, отвечающее действию б), равносильно умножению слева матрицы A на матрицу, получаемую из единичной с помощью тех же действий. Итак, выполнение элементарных преобразований над матрицей A сводится к умножению на A слева матрицы, получаемой из единичной с помощью тех же преобразований.

24. разложения определителя по элементам строки. (аналогично разложение по столбцам) Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения ().каждый определитель равен сумме произведения элементов любой его строки(столбца) на их алгеброические дополнения.

,  где каждый элемент i-й строки имеет n слагаемых. Теперь воспользуемся свойством линейности. Определитель равен сумме следующих n определителей: 

...  В каждом из них вынесем в качестве множителя ненулевой элемент a_ik i-й строки; останется A_ik. Поэтому каждый из них равен a_ik× A_ik. Так что    a_i1A_i1 + ... + a_ikA_ik + ... + a_inA_in.