Атом водорода и водородоподобные системы, страница 4

                                               (7.6)

Постоянная  имеет размерность энергии (=13,6 эВ) и даёт порядок энергии электрона в атоме. Тогда радиальное уравнение принимает вид:

.                              (7.7)

Это уравнение необходимо решить для нахождения неполной радиальной функции R(r).

Уравнение (7.7) имеет решение, удовлетворяющее необходимому условию квадратной интегрируемой функции состояния, если выполняется равенство:

                                                       (7.8)

где = 1,2,3,… - радиальное квантовое число. Обычно вводят

главное квантовое число:

                                                             (7.9)

Тогда с учётом значений  видно, что = 1,2,3,…

Из формулы (7.8) с учётом (7.7) имеем:  т.е. энергия стационарных состояний квантуется главным квантовым числом n.

Таким образом, стационарные состояния электрона в атоме водорода определяются тройкой квантовых чисел n,, m. Квантовые числа позволяют рассчитать для каждого состояния значение трёх физических величин, имеющих одновременно определённые значения.

Это энергия момента импульса и его проекция:

,  ,   .

Согласно формуле (7.9) , т.е. . 

Поэтому при заданном главном квантовом числе  орбитальное квантовое число пробегает n разных значений от 0 до (n-1). При фиксированном n и может быть  состояний отличающихся значениями магнитного квантового числа. Количество состояний с одним и тем же n, но разными и m равно:

.

Состояния с фиксированным n имеют одну и ту же энергию и называются вырожденными. Число этих состояний называют кратностью вырождения, следовательно,  - кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме. Полная функция состояния атома водорода − это произведение радиального и углового её соотношений:

.

7.4.Орбитальный магнитный момент электрона

         Установим вид оператора магнитного момента движущейся заряженной микрочастицы, опираясь на критерии соответствия. Магнитный момент μ частицы, движущейся по круговой траектории, связан с механическим моментом (моментом импульса) гиромагнитным соотношением: , тогда оператор магнитного момента:   . Собственные значения магнитного момента определяются формулами: ,          .

Из этих формул видно, что существует своеобразный квант магнитного момента − наименьшее отличное от нуля значение проекции момента на выделенное в пространстве направление.  Для электрона эта величина:   называется магнетоном Бора, тогда