Атом водорода и водородоподобные системы, страница 3

 после подстановки получаем уравнение:

.

Умножим его на  и разделим на RJ:

.

Правая и левая части этого равенства есть функции разных незави-симых переменных, поэтому они должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим её через λ, тогда исходное уравнение распадается на два:

,

Первое из них есть уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата момента импульса. Его решение нам известно, причём  ,  тогда второе уравнение принимает вид:

.

Это уравнение называется радиальным. Сделаем подстановку , тогда  .              (7.5)

Уравнение (7.5) по форме совпадает с одномерным уравнением Шредингера для движения частицы в поле эффективным потенциалом: Uэф . Дальнейшее решение требует знания вида потенциала U(r).

Таким образом, при движении частицы в центрально-симметричном поле:

1) Возможны стационарные состояния с определенными значениями энергии, момента импульса и его проекций на ось OZ.

2) Указанные состояния различаются квантовыми числами  и m, определяющими момент импульса и его проекцию.

3) Энергия стационарного состояния зависит от конкретного вида центрального поля и должна быть определена вместе с радиальным множителем R(r) в процессе решения уравнения (4).

7.3.Квантово-механическая модель атома водорода

Электрон в атоме водорода движется в поле кулоновской силы электростатического притяжения к ядру. Потенциальная энергия электрона выражается классической формулой:

,   где .

Поле является центрально-симметричным, поэтому воспользуемся результатами предыдущего параграфа. Ядро будем считать неподвижным и находящемся в начале координат. Угловая часть волновой функции электрона уже известна: это сферическая функция . Для нахождения радиальной части нужно решить уравнение (4) с кулоновским потенциалом. Эффективный потенциал имеет вид:   

 ,

где - масса электрона. Вид функции(r) имеет вид представленный на рисунке.

При r→0 функция  ведёт себя как ; на больших расстояниях функция (r) приближается к нулю, со стороны отрицательных значений, так же как .

Для нас наиболее важна область потенциальной ямы. Здесь при отрицательных энергиях движение частицы происходит в ограниченной области пространства и возможны связанные состояния с дискретными значениями энергии.

Запишем радиальное уравнение с кулоновским потенциалом: 

.

Для упрощения перейдём к безразмерной величине , - постоянная, называемая боровским радиусом   (a = 0,52∙ см). Эта величина определяет порядок расстояний в атоме. Обозначим: