Силовое исследование плоских механизмов: Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине "Теория механизмов и машин", страница 10

где dsk-действительное перемещение точки приложения силы Pk; ak- угол между направлением перемещения dsk и направлением силы Pk.

Разделив каждый член уравнения (6) на время dt, в течение которого совершается перемещение, получим

,                           (7)

где uk - скорость точки приложения силы Pk.

Выражение  - мощность, развиваемая силой Pk в данный момент. Теперь рассмотрим на рис. 22,а звено ВС механизма, к которому приложена сила Pkв точке k и для которого известны скорости точек звена uk и uс. В любом масштабе mu.построим план скоростей звена (рис. 22,б).

Рис. 22

Далее, повернем этот план на 90° в любую сторону и силу Pk перенесем из точки К звена ВС в соответствующую точку kповернутого плана скоростей (рис.22,в). Из полюса повернутого плана скоростей опустим перпендикуляр на линию действия силы Pk, получим отрезок hk как плечо силы Pkотносительно полюса плана. Из условия перпендикулярности сторон kpd на плане будет равен углу . Так как из плана

.

Теперь напишем выражение момента силы Pk относительно полюса повернутого плана скоростей

.                                          (8)

Сравнивая полученное выражение момента (8) с уравнением (7) видим, что уравнение (7) можно написать в следующем виде:

                                                 (9)

Так как равенство (8) справедливо для всех сил Pk, приложенных к звеньям механизма, то общий для всех слагаемых множитель mu отбрасывается. Полученный результат можно сформулировать так: если на механизм действует система сил, под действием которой он находится в равновесии, то повернутый план скоростей, рассматриваемый как жесткий рычаг с опорой в полюсе; под действием тех же сил, перенесенных в соответствующие точки плана, также находится в равновесии.

Уравнение (9) и является условием равновесия этого рычага. Этот вывод называется теоремой Жуковского о жестком рычаге. Если к звену механизма приложен момент, то его можно всегда заменить парой сил, приложенных в любых выбранных точках на этом звене.

Масштаб mu плана скоростей может выбираться любым, так как в уравнение (9) он не входит. Поэтому практически удобно скорость одной из точек на плане изобразить отрезком произвольной длины, а затем графически определить остальные отрезки плана.

С помощью уравнения (9) можно определить величину силы, действующей на любое звено механизма, если известна точка приложения и линия действия этой силы.

Применяя теорему Жуковского, можно пользоваться также и неповернутым планом скоростей, но в этом случае при переносе сил на план скоростей их следует повернуть на угол 90° в одном и том же направлении. С помощью теоремы Жуковского можно также определить уравновешивающий момент Му на ведущем звене механизма без определения реакций во всех кинематических парах механизма. Для этого уравновешивающий момент М можно представить в виде пары сил  и -. Одна из них приложена к оси вращения кривошипа А (рис. 23,а), а другая - в любой другой точке кривошипа, например М. Сила , приложенная к точке М, называется уравновешивающей силой. Наиболее удобно за вторую точку приложения силы пары брать шарнир В, а направление силы выбирать перпендикулярно кривошипу АВ (рис. 23,б). Тогда уравновешивающий момент Myсвязан с уравновешивающей силой формулой

.                                           (10)

Рис. 23

По теореме Жуковского определяютPy, а по формуле (10)-Му.

Проиллюстрируем определение уравновешивающего момента на примере механизма, изображенного на рис. 24. На рис. 24,а показан план скоростей этого механизма, в соответствующие точки которого перенесены силы, повернутые на 90° по направлению движения часовой стрелки.

Рис. 24

Уравнение (9) для этого случая примет вид

,

Длины отрезков pf,h4, h3, h2, рb берутся непосредственно с плана скоростей. Умножая полученную уравновешивающую силу Ру на длину звена lAB, получаем уравновешивающий момент My на ведущем звене механизма. С помощью теоремы Жуковского можно также проводить проверку правильности силового расчета механизма, так как моменты, полученные по теореме Жуковского и с помощью силового расчета механизма, должны совпадать.