Элементы зонной теории твердого тела, страница 2

Существование полупроводников среди кристаллов, образованных элементами IV группы связано это с взаимодействием электронов внешних s и p оболочек – так называемой s-p гибридизацией связей. При сближении двух атомов кремния (рис. 3.1, справа), одна комбинация s и p оболочек идёт вниз по энергии – связывающая орбиталь, а другая вверх по энергии – анти-связывающая орбиталь [2.1 и ссылки в ней]. В кристалле полностью заполнена электронами связывающая орбиталь, между верхним по энергии состоянием в ней и нижним по энергии состоянием в анти-связывающей орбитале нет разрешённых уровней энергии для электронов - образуется запрещённая зона (band gap). Поэтому, кремний является полупроводником. Изящное объяснение возникновению подобной зонной структуры у кремния дано в примечании на странице 36 книги 2.5. Вспомним, что в базис решётки типа алмаза содержит два атома. Кристалл кремния можно считать построенным из молекул Si₂. У двух атомов кремния – 8 внешних электронов, два из них пошли на построение валентной связи Si-Si, таким образом, молекула имеет 6 внешних (валентных) электронов. Всего в кристалле получается 6N валентных электронов (N теперь количество молекул, а не атомов). Эти 6N валентных электронов заполняют шестикратно вырожденную валентную зону. Двукратное вырождение по спину и плюс трёхкратное вырождение в типичных полупроводниках – 1) зона тяжёлых дырок; 2) зона легких дырок; 3) отщеплённая за счет спин-орбитального взаимодействия зона (здесь встречаются некоторые, возможно новые для вас термины, физический смысл которых будет обсуждаться позднее).

Таким образом, металлы с точки зрения зонной теории это вещества, в которых последняя из заселённых электронами разрешённая по энергии зона заполнена ими не полностью. Если она заполнена на 10% или менее, либо на 90% или более, то такой металл с точки зрения проводимости не очень хорош, и о таких материалах говорят как о полуметаллах [2.2, 2.6]. Конечно, цифры приведённых процентов весьма условны, чёткой границы нет. Если между последним заполненным электронами состоянием и следующими разрешёнными по энергии состояниями существует провал, то такой материал называют полупроводником. При этом верхняя заполненная электронами зона называется валентной зоной (valence band), а следующая за ней выше по энергии разрешённая зона называется зона проводимости (conductance band). Провал между валентной зоной и зоной проводимости называют запрещённой зоной (band gap). Верхнюю границу валентной зоны обозначают E_v, нижнюю границу зоны проводимости – E_c, запрещённую зону – E_g. Существуют полупроводники с нулевой запрещённой зоной и даже с отрицательной, когда потолок валентной зоны лежит выше дна зоны проводимости, такие полупроводники близки по свойствам к полуметаллам (к ним, кстати, относится вышеупомянутое серое олово). Отличие диэлектриков от полупроводников заключается только в величине запрещённой зоны, и поэтому весьма условно. Достаточно широкозонный материал (с E_g больше 3-4 эВ) можно легировать примесью так, что по проводимости он будет сравним с полупроводниками. Если такое легирование невозможно, то это «чистый» диэлектрик. Широкозонные полупроводники в последнее время находят широкое применение в приборах, работающих в экстремальных условиях (в частности, при высоких температурах).

Попытаемся теперь найти структуру электронных зон, вид волновых функций электронов в них. Известно, что в квантовой (как впрочем, и, за некоторым исключением, в классической механике), задача, в которой присутствует более двух тел, не имеет точного аналитического решения. Поэтому, будем пользоваться некоторыми упрощениями, которые обсуждаются ниже. Единственным существенным взаимодействием в твёрдых телах является электромагнитное взаимодействие. Гравитационные силы пренебрежимо малы, сильное и слабое ядерное взаимодействие спрятано где-то внутри ядер. Тогда, гамильтониан идеального кристалла можно записать следующим образом:

3.1. Гамильтониан идеального кристалла в системе СГС. Здесь m_i и M_j – массы электронов и ионов, вектора r_i и R_j – положение i-того электрона и j-того иона, Zj – атомный номер ядра, e – заряд электрона, сумма со штрихом означает суммирование с условием (j¹j’), операторы p_i и P_j – операторы импульса для электронов и ионов ().