Функции нескольких переменных. Основные понятия, определения

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Глава 9

Функции нескольких переменных

9.1.      Основные понятия, определения

1°. - множество всех упорядоченных пар чисел (x,y) (троек чисел (x,y,z)). - множество всех упорядоченных наборов n чисел .

2°. Функция f   n переменных сопоставляет по определенному правилу каждому набору  n чисел  из области определения  единственное значение u из области значений , что записывается в виде  или  В дальнейшем будем рассматривать функции двух (трех) переменных ,  .

3°. Если (x,y) (или (x,y,z))  - декартовы координаты точки плоскости  Oxy (или пространства Oxyz), то D – часть плоскости или вся плоскость (часть пространства или все пространство).

4°.e - окрестность точки - множество всех точек , не совпадающих с точкой , расстояние до которых от точки  меньше e: . Так, e - окрестность точки  - множество точек M(x,y), удовлетворяющих условию  - шар радиуса e без границы с выколотым центром .

5°. Назовем точку внутренней точкой области, если она принадлежит этой области вместе со всеми точками какой – нибудь своей окрестности. Любая окрестность граничной точки области содержит точки, принадлежащие области, и точки, не принадлежащие области. Сами граничные точки могут принадлежать области, а могут не принадлежать.

6°. Область называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки.

Пример 1. Найти и изобразить область определения функций:

 а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если x и y  удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем)             Следовательно, область определения множество точек  .Область определения изображена на рис. 9.1.

б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств

Рис. 9.1.

 
 
Область определения получается пересечением множеств:  - множество точек “под” параболой , включая саму параболу; - внутренность круга радиуса 1 с центром в точке , - вся плоскость Oxy, исключая точку . Итак,   (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

 
            

Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения следующих функций:

1. .     2. .  3. . 
4.
.  5. .    6. . 7. .       8.

9.2.      Предел функции

          Пусть функция  определена на множестве D и точка .

1°. Число А называется пределом функции f(M) при стремлении точки  к точке  (или, другими словами, при  , если для любого, сколь угодно малого положительного e найдется такая d- окрестность точки , что для любой точки M из этой окрестности выполняется  и обозначается . Этот предел не должен зависеть от способа (“пути”) стремления M к М0.
Используя логические символы   .Для функции двух переменных f (x,y        .

2°. Функция f(M) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при стремлении M к точке M0, если   . Практически, при вычислении  удобно задать проходящую через точки M и М0 линию в параметрической (или иной ) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела функции одной переменной по известным правилам и теоремам.

Пример 2. Вычислить пределы:   а) ,     б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой  y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из  следует  и . Пределы получаются разными при различных “k” и не существует числа A, к которому значения   становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®¥½=½применим правило Лопиталя два раза½=

  – предел существует и равен нулю. #

Задачи для самостоятельного решения

          Вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.

9.        10.      11.     
12.    13.

9.3.      Непрерывность функции

          1°. Функция f(M) называется непрерывной в точке , если выполнены условия : 1) f(M) определена в точке M0 ; 2) существует ;

3) .

          2°. Функция f(M) называется непрерывной в области U , если она непрерывна в каждой точке области U.

          3° . Если в точке M0 нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, то M0 называется точкой разрыва функции f(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.

          Теорема 9.1 (Вейерштрасса). Если множество U, принадлежащее области определения функции f, является замкнутым и ограниченным, а функция f непрерывна на U, то f достигает на U своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки  и , что для любой точки  выполняется неравенство

Пример 3. Найти точки разрыва функций: а)

б)

          Ñ а) Область существования функции  есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию  или - внутренность круга радиуса  с центром в точке O (0;0). Функция  не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда  или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности   .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz  точки разрыва  функции образуют поверхность – конус. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функций двух переменных:

14.     15.    16.

Найти точки разрыва функций трех переменных:

17.         18.

19*. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0:

       1) .  2) .

       3) .

9.4.      Частные производные и дифференцируемость функции

          1°. Пусть M(x1,…,xk,…,xn) – произвольная фиксированная точка из области определения D функции  и точка  Если существует предел

,

то он называется частной производной первого порядка данной функции по переменной xk  в точке M и обозначается  или , или .

          Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме xk , рассматриваются как постоянные.

2°. Частными производными второго порядка функции   по соответствующим переменным называются частные производные от ее частных производных первого порядка, они обозначаются:    =,  и т.д. Аналогично определяются частные производные порядка выше второго.

Теорема 9.2 Если смешанные производные непрерывны, то они совпадают: .

          Таким образом, результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования при условии, что возникающие при этом “смешанные” частные производные непрерывны.

Пример 4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .

Ñ Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: ,

.  Дифференцируя вторично, получим:

,

,

,

.#

Задачи для самостоятельного решения

          Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций:

20. .   21. .  22. .    23. .

24. .    25. Найти ,  если .

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
348 Kb
Скачали:
0