Структура и режимы течения в неизобарических сверхзвуковых струях, страница 5

получаем

.

Учитывая, что для Ма >>1

,

получаем, что характерный полярный угол течения q будет определяться отношением

                                       (14.4)

Из соотношения видно, что с ростом числа Маха сопла угол раскрытия струи уменьшается и длина первой ячейки волновой структуры струи увеличивается. Условия U = const и q < 1 позволяют применить для приближенного описания течения метод нестационарной аналогии (закон плоских сечений). Метод основан на том, что при переходе в систему координат, движущуюся со скоростью U, течение в струе выглядит как радиальное сверхзвуковое расширение из точки. Сейчас же достаточно указать, что, используя в соответствии с этим методом связь продольной координаты х со временем t по соотношениям x=Ut и dx=Udt, можно следующим образом определить размеры Х и Y.

Выделим в поперечном сечении струи плоский слой (рис.48) газа, толщиной dx, масса газа прошедшего через сопло за время dt, равна Gadt. Считается, что тепловая энергия eaGadt этого газа целиком расходуется на работупопреодолению давления газа затопленного пространства и определяется соотношением

После замены в последнем соотношении dt на dx/U находим

,                                          (14.5)

где rа - радиус выходного сечения сопла. Так как расход Ga можно определить как , по определению степени нерасчетности . Тепловую энергию ea, с использованием (14.3), можно определить как . Используя уравнение состояния идеального газа  получаем

                                            (14.6.)

Из соотношения видно, что с ростом степени нерасчетности струи диаметр круглой струи возрастает как корень из нерасчетности и, например, струя углекислого газа (gа = 1,33) будет большего диаметра, чем струя гелия (gа = 1,6). Для продольного размера струи с использованием (14.4) и (14.6) получаем

Из соотношения видно, что с ростом числа Маха сопла и степени нерасчетности струи первая ячейка волновой структуры недорасширенной струи удлиняется. Комплекс  является параметром подобия геометрии первой ячейки струи, как недорасширенной, так и перерасширенной.

Диапазон изменения параметра п в практических задачах очень велик - от 10- 1 до 1010. Поэтому изменения Х и Y при изменении п значительны. Экспериментальными и расчетными исследованиями установлено, что Х и Y пропорциональны  в очень широких пределах для сильно недорасширенных струй (при п > 3).

При истечении в спутный сверхзвуковой поток при М¥>2 давление вдоль границы струи существенно переменное, а на начальном участке сильно недорасширенной струи оно пропорционально импульсу внешнего потока

p¥g¥М¥2,

что приводит к следующим зависимостям размеров Х и У от безразмерных критериев

,

а для qсохраняется прежняя оценка (14.4). Здесь сказывается уменьшение диаметра струи из-за увеличения противодавления внешней среды, которое слабо сказывается на длину самой струи.

Систематические расчеты по теории невязкой жидкости позволили провести детальное исследование влияния параметров п, уа, Ма, gа, М¥ на структуру струи. Анализ результатов этих расчетов устанавливает для начального участка недорасширенной струи автомодельность его геометрической формы (ударные волны, границу) и распределения параметров в координатах подобия х/Х и y/Y, также выявляет гиперзвуковой параметр подобия К = М¥q ~ М¥Y/X ~ М¥а. При слабом влиянии эффектов вязкости (большие числа Рейнольдса при ламинарном течении и близость к единице параметра спутности т при турбулентном течении) установленный принцип автомодельности может быть сформулирован в виде следующего правила: при одинаковых значениях гиперзвукового пирометра подобия К в сходственных сечениях (x/Х = const) поля распределения параметров подобны по нормированной координате подобия y/Y.