Степени свободы и обобщенные координаты, страница 5

Свойства сил. 1) Сила суть векторная величина, характеризуется как величиной, так и направлением. 2) Для любой силы имеется источник, сила действует со стороны какого – либо тела. 3) В общем случае сила зависит от координаты, скорости частицы и времени F = F ( r, v, t ). 4) Силы подчиняются принципу суперпозиции,   силы, действующие сос стороны различных источников складываются векторно.  5) Силы, действующие со стороны различных источников независимы. Если есть  и, стало быть , то включение третьей частицы никак не влияет на взаимные силы между думя первыми. Это свойство называется независимостью действия сил.

Единицами измерения сил:

  •  в системе СИ является  1 ньютон (н) 1 н = 1 кг 1 м / сек2
  • в системе СGS – 1 дина (дин) 1 дин = 1 г 1 см / сек2 . 1 н = 105 дин .

Центр масс, центр инерции.

      Применим III-й закон Ньютона к системе множества частиц 1,…,n. Допустим, что существуют взаимные силы для любой пары частиц – F12, F13, …, F1n. Fjk – сила, действующая со стороны  j – ой частицы на k – ю. Согласно III-му закону Ньютона

  . Пусть существует источник внешних сил, и на каждую частицу системы действует внешняя сила F(e)i . Запишем систему уравнений движения для каждой частицы:

           (3)

Складывая почленно левые и правые части уравнений системы, учитывая. получим: , вводя находим: . Изменение импульса системы равно равнодействующей внешних сил. Итак, II – й и III – й законы Ньютона можно применить к твердому телу, состоящему из множества частиц. При этом взаимные силы, действующие в твердом теле можно не учитывать, т.к. изменение импульса в точности равно равнодействующей внешних сил. Если полная масса твердого тела, составленного из множества частиц – M , то последнее соотношение переписывается в виде: . В этом соотношении . Возникает вопрос: какую скорость следует дифференцировать? Можно предположить, что это скорость движения тела как единого целого. Действительно: , то . Учитывая находим:

                      (3)

Обозначим - радиус вектор i – частицы. В предположении, что

.                         (4)

                                 (5)

Будем называть  - радиус –вектором центра масс системы материальных точек, тогда  - скорость центра масс, или скорость системы центра инерции. В дальнейшем, скорость системы отсчета, движущейся со скоростью центра масс, называется скоростью центра инерции. Такая система отсчета называется системой центра инерции с.ц.и.  Равенство (5) в действительности, в декартовых координатах представляет собой 3 соотношения:

                  (6)

Пример 1. Найдем положение центра масс гантельки – 2-х точечных масс m и M соединенных безмассовым жестким стержнем длины  l (рис.  ). Поместим начало отсчета декартовой системы координат в одной из частиц и направим выделенную ось x вдоль стержня. Используя определение (6) находим: . Положение центра масс ближе к массивной частице.

Пример 2. Определим положение центра масс однородного полушара массы M, радиуса R . Очевидно, из соображений симметрии центр масс должен находиться на радиусе полушара, проходящем через его центр. Пусть начало отсчета оси z, проходящей через центр находится на плоской поверхности полушара. Разобъем полушар параллельными плоскостями на семейство дисков бесконечно малой толщины dz. Масса элементарного диска – dm = r pr2 dz . Из геометрических соображений r2 = R2z2 . Аналогом  при разбиении на бесконечно малые отрезки dz является z dm. Суммируя:

Учитывая, что , находим

Импульс силы.

Рассмотрим простой пример. Пусть сила, действующая на частицу заданной массы остается постоянной в течение некоторого интервала времени t.  Интегрируя уравнение движения (II – й закон Ньютона)  при  находим . Произведение называется импульсом силы. Нетрудно получить обобщение понятия на случай переменной силы . Достаточно разбить время на бесконечно малые интервалы, считая силу почти неизменной в течение этого бесконечно малого отрезка времени. Тогда и . По – прежнему правая часть – импульс силы.

Пример. Снаряд массы ускоряется в канале ствола в течение времени пороховыми газами под действием постоянной силы .  Какова скорость снаряда на срезе ствола?

Конечный импульс снаряда . Отсюда .