Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами, страница 2

Решение. 1). Характеристическое уравнение  имеет двукратный корень , поэтому . 2). Здесь  . Так как a = –5 является корнем характеристического уравнения кратности k = 2, то частное решение  НЛДУ ищем по формуле (6.13¢): . Тогда , .

Подставляя  и  в исходное уравнение, получим , откуда  и . Общее решение исходного НЛДУ: .

Пример 9. Найти общее решение уравнения .

Решение. 1). Характеристическое уравнение  имеет корни , , поэтому . 2). Здесь . Характеристика  не является корнем характеристического уравнения; для определения частного решения используем рекомендацию (6.14). Определим m:  и , таким образом, . Найдем  и  и подставим  и  в заданное уравнение; получим, собрав в левой части отдельно члены при cosx, отдельно при sinx

. Сравнивая отдельно выражения при cosx и при sinx слева и справа, придем к системе уравнений:

                                

Решая, получим  и частное решение . Общее решение запишется по формуле (6.7): .

Пример 10. Проинтегрировать уравнение .

Решение. 1). Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ: , , . 2).Частное решение уравнения  (1) следует искать в виде (6.14¢), так как характеристика  является простым корнем характеристического уравнения :.

Подставляя в уравнение (1), получим: , откуда  и . Для уравнения (2) имеем  - используем формулу (6.14), ибо здесь  не является корнем характеристического уравнения. Подставляя  в (2), найдем , так что . Используя формулу (6.7) и принцип суперпозиции частных решений, запишем общее решение НЛДУ: .

Пример 11. Найти общее решение НЛДУ  .

Решение. 1). Характеристическое уравнение  имеет корни , так что . 2).Здесь  и так как характеристика  является простым корнем характеристического уравнения, частное решение надо искать в виде (6.14¢): ; тогда   , . Подставляя  и  в исходное уравнение и сокращая на , получим ,откуда  и . Общее решение НЛДУ:  .

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на линейную зависимость в области их совместного определения системы функций:

124. ;  125.   126. ;   127.;  128. ; 129. .      130.    131. ;

132.    133. .

В задачах 134-139 найти определитель Вронского для указанных систем функций:

134. ;   135.   136.   137.   138.

139. .

По заданной ФСР ОЛДУ составить это уравнение:

140.   141.   142.    143.   144.

145.    146.    147. .

Найти общее решение ОЛДУ, если известно одно частное решение:

148. ;   149.

150.      151. ;

152.

153.

154.

В нижеследующих НЛДУ, зная одно частное решение соответствующего ОЛДУ и угадав некоторое частное решение  НЛДУ, либо применив метод вариации произвольных постоянных, найти общее решение:

155.      156.

157.

158.

159.

160.

В уравнениях 161-165 частным решением ОЛДУ является  :

161.   162.      163.  

 164.    165. .

Проинтегрировать следующие ОЛДУ с постоянными коэффициентами:

166.     167.    168. 

169.    170.    171.

172.   173.  174.   175.

176.    177.    178. 

179.        180. 

181.     182.  

183.    184.

Методом вариации произвольных постоянных решить следующие НЛДУ с постоянными коэффициентами:

185.          186.         187.

188. 189.   190.

191.   192.

Определить вид частного решения НЛДУ, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть - функция специального вида:

193.           194.

195.     196.

197.  198.

199.   

200.

201. .

Пользуясь принципом суперпозиции, определить вид частного решения следующих НЛДУ:

202.     203.      204. 

205.   206.     207.

208.     209.

Проинтегрировать следующие НЛДУ, найдя предварительно их частные решения методом неопределенных коэффициентов:

210.  211.  212. 

213.    214.  215.  216.  

217.   218. 

219.   220. 221.   222.  223.    224.  225.  226.   227.    228. 229.

230.   231.

232.     233.

234.    235.    236.  

237.   238.