Конспект семинарских занятий по второй половине курса «Методы вычислений», страница 3

вычисление правых частей
–  действий.	–  действий.
решение систем
с диагональной матрицей –  действий.	с 3-диагональной матрицей –  действий.
вычисление приближенного решения в точке
–  действий.	–  действий.

из таблицы следует, что кусочно-линейные функции «экономичнее» тригонометрического базиса при одной и той же оценке точности приближения (почему точность одинаковая?).

4 семинар "Кусочно-квадратичные восполнения"

На сетке  определим дополнительные узлы  и по значениям  и  построим непрерывное, кусочно-квадратичное приближение  функции :

                                                                  

Проверьте, что – интерполяционный полином в форме Ньютона.

Постройте интерполяционный полином  в форме Лагранжа.

Ответ:

Обозначим через  подпространство непрерывных, квадратичных на каждом интервале  сетки  функций, равных нулю в концах интервала , и назовем его подпространством кусочно-квадратичных восполнений.

Определить размерность и построить базис в .

Ответ:   размерность равна  (количество произвольных параметров           , определяющих восполнение);

              самый простой базис соответствует классическому базису , с    базисными функциями:

         

                      

         

              

Метод Галеркина для задачи в .

Найти .

Построить систему уравнений для определения коэффициентов разложения

и предложить метод ее решения.

Ответ: система с 5-и диагональной матрицей имеет вид

и для ее решения применим метод прогонки для 5-и диагональной матрицы (докажите).

Указание:

сначала проверьте, что система имеет вид:

затем вычислите ее коэффициенты:

Задача. Доказать оценку

                                                                           

 Решение. Сначала заметим, что ошибка  имеет на интервале  по крайней мере 3 разных корня, ее первая производная – 2 разных корня  и , ее вторая производная – хотя бы 1 корень .

             

Следовательно,

                                                                              

Используя неравенство Коши, получим оценки

                                                                              

Интегрируя левую и правую части последней оценки по интервалу , получим

.

Суммируя полученное неравенство по всем интервалам, получим

,

т.е. оценку .

Задача. Примените оценку для доказательства неравенства

                                                  ,      

где  – приближение по методу Галеркина с использованием кусочно-квадратичных восполнений решения краевой задачи с гладкой правой частью:

                                                                                              

Задачи к экзамену

1. Поставить задачу о поиске обобщенного решения для краевой задачи

                                             

2. Поставить задачу о поиске обобщенного решения для краевой задачи

                                             

3. Поставить задачу о поиске обобщенного решения для краевой задачи

                                             

4. Поставить задачу о поиске обобщенного решения для краевой задачи

                                               

5. Поставить задачу о поиске обобщенного решения для краевой задачи

                      

6. Обосновать применимость метода Ритца для задачи о минимуме функционала

 7. Обосновать применимость метода Ритца для задачи о минимуме функционала

8. Обосновать применимость метода Ритца для задачи о минимуме функционала

9.     Для краевой задачи

                                             

        построить схему МКЭ для поузлового базиса на сетке

              

10.   Для краевой задачи

                                                

        построить схему МКЭ для поузлового базиса на сетке

              

11.   Для краевой задачи

                                             

        построить схему МКЭ для поузлового базиса на сетке

              

12.   Для краевой задачи

                                             

        построить схему МКЭ для поузлового базиса на сетке