Конспект семинарских занятий по второй половине курса «Методы вычислений», страница 2

                                                                                               

Очевидно, что решение задачи .

Интегральное тождество.

Пусть

                                                                                              

– линейное множество плотное в  со скалярным произведением

                                                        

Доказать, что решение задачи удовлетворяет тождеству

                           .                                                                  

Доказать, что билинейная форма   определяет на множестве функций  скалярное произведение и норму .

Энергетическое пространство.

Пополним  по норме , в результате получим гильбертово пространство .

Доказать, что , т.е.

.

Доказать, что  функционал  – линейный и непрерывный в .

Проекционная формулировка задачи :

 

Доказать: решение задачи совпадает с решением задачи .

Тригонометрический базис в .

Известно$, что в  системы функций

 и

образуют ортонормированные базисы, т.е. :

                      ,                                                                  

где ;

,                                      

где .

Доказать, что  

– ортонормированный базис в  со скалярным произведением .

Доказательство.

1) Очевидно, что  и легко проверить, что

т.е. система функций  ортонормальна в .

2) Просуммируем проекции функции  на :

                                                                                            

и нам нужно доказать, что .

3) Так как  и  – ортонормированный базис в , то

                                                                                                                              

и так как

                   

(проверьте это равенство), то ряды и .

Доказать:

если  и , то для ее проекции на :

, где

справедлива оценка

                                             

Доказательство.

Из и разложения  в ряд имеем

что и требовалось доказать.



Метод Галеркина для задачи в .

Найти .

Построить систему уравнений для определения коэффициентов разложения

.

Ответ: .                                

Доказать:  (следствие ).



3 семинар "Кусочно-линейные восполнения"

Построим на интервале  сетку  и по значениям  построим непрерывное, кусочно-линейное приближение  функции :

                                                                                        

Доказать оценки:

                                    ,                                                                  

                                     .                                                                  

Доказательство.

Для доказательства используем разложения в ряд Тейлора в точке :

                        

Тогда

   

Так как  и , то

              ,

т.е. получили оценку .

Аналогично получим оценку :

            

Доказать оценку:

                                                  .       

Доказательство.

Оценим квадрат ошибки приближения, используя элементарные тождества и неравенство Коши:

Интегрируя левую и правую части этой оценки по интервалу , получим

.

Суммируя полученное неравенство по всем интервалам, получим

,

т.е. оценку .



Обозначим через  подпространство непрерывных, линейных на каждом интервале  сетки  функций, равных нулю в концах интервала , и назовем его подпространством кусочно-линейных восполнений.

Определить размерность и построить базис в .

Ответ:   размерность равна  (количество произвольных параметров ,   определяющих восполнение);

              самый простой базис соответствует классическому базису , с         базисными функциями ():

                                                                                                        

Метод Галеркина для задачи в .

Найти .

Доказать: (следствие оценки ).

Построить систему уравнений для определения коэффициентов разложения

                        

и предложить метод ее решения.

Ответ: система с трехдиагональной матрицей имеет вид

.

и для ее решения применим метод прогонки (докажите).

Оцените объем вычислений приближенного решения задачи в подпространстве с тригонометрическим базисом и в подпространстве кусочно-линейных восполнений.

Ответ (будем считать, что при вычислении интегралов  заменяется непрерывным,   кусочно-линейным интерполянтом ):