Динамика твердого тела. Изменение момента импульса равняется моменту силы, страница 3

Докажем. Пусть вектор  - есть вектор сдвига между осями . Ось  проходит через центр масс тела. Радиус вектор произвольной точки тела относительно оси - , . Согласно определению . Последнее слагаемое: . Согласно условию, что ось вращения  проходит через центр масс имеем:, тогда утверждение теоремы доказано:

Пример. Применение закона сохранения момента импульса позволяет определить как меняется угловая скорость при изменении размеров тела. Рассмотрим вращение точечной частицы массы  на горизонтальной плоскости без трения, привязанной к ниточке, пропущенной через малое отверстие в плоскости. (см. рис. n7). Допустим, что ниточка медленно вытягивается и радиус вращения частицы уменьшается. Как меняется при этом угловая скорость частицы.

Поскольку в задаче действует единственная сила – сила натяжения ниточки, которая является центральной, то момент импульса частицы относительно оси, проходящей через ось вращения, сохраняется  .

. Отсюда .  С уменьшением радиуса растет угловая скорость как . Подобное явление многие наблюдают в ускорении вращения фигуристов при сжатии рук к оси вращения.

Мгновенная ось вращения.

Твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси, может быть рассечено семейством плоскостей, перпендикулярных оси вращения. Рассматривая вращение в каждой из таких плоскостей нетрудно построить распределение скоростей точек, вращающихся относительно центра. Из неизменности расстояния между двумя произвольными точками в плоскости следует, что . Допусти, что скорость в некоторой точке , следовательно: , что означает, что  - вектора перпендикулярны, независимо от положения т. . Скорость в т. перпендикулярна прямой , направлена по касательной к окружности. Из пропорциональности скорости длине радиуса окружности получаем распределение скоростей вдоль радиуса, исходящего из мгновенной оси вращения, оси исходящей из т. , в которой мгновенная скорость .

.

Пример.

Рассмотрим колесо радиуса , катящееся по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Очевидно, что в точке контакта колеса и поверхности из-за отсутствия проскальзывания – т.е. отсутствия относительного смещения точек на колесе и точек на поверхности скорость колеса нулевая. (см. рис. n7). Возникает вопрос: каким образом у колеса, со смещающимся с некоторой скоростью центром имеется неподвижная в каждый момент точка? Ответ на этот вопрос состоит в представлении скорости произвольной точки колеса как суммы скоростей поступательного движения со скоростью центра колеса  и линейной скорости вращения в системе отсчета неподвижного центра колеса. Векторное сложение этих вкладов на ободе колеса в точке касания дает нуль. Эта точка является проходит горизонтальная мгновенная ось вращения.

Замечание. Мгновенная ось вращения позволяет найти распределение мгновенных скоростей, но отнюдь не распределение ускорений. Распределение ускеорений оотносительно мгновенной оси вращения отличается от распределения ускорений относительно неподвижной оси, при том, что угловые скорости в обоих случаях одинаковы. Для катящегося колеса мгновенные ускорения , где - радиус вектор точки, проведенный из центра колеса.

Вектор угловой  скорости вращения.

            Ранее постулировано, что угловая скорость – суть вектор. Он направлен перпендикулярно плоскости окружного движения частицы и имеет положительное значение вдоль оси , если вращение в плоскости           происходит против часовой стрелки, при противоположном направлении вращения вектор угловой скорости отрицателен. (см. рис. n8). Возникает вопрос: каким образом дифференцирование объектов – угловых величин, не обладающих свойством коммутативности (перестановочности), дает тем не менее векторную величину ?

Рассмотрим примеры подтверждающие это утверждение.

Нетрудно убедиться, что сумма линейных сдвигов перестановочна: Однако комбинация поворотов вокруг разных осей, для простоты доказательства на углы против часовой стрелки дает разные результаты в зависимости от порядка совершение поворотов. .Таким образом конечные угловые повороты (переменные) не обладают свойством коммутативности. Однако это свойство выполняется для бесконечно малых поворотов. Оказывается, что в пределе бесконечно малых угловых смещений . Из последнего следует, что угловая скорость вектор т.к. . Угловая скорость результирующего вращения из двух с угловыми скоростями , происходящих относительно различных осей находится как векторная сумма , причем мгновенная ось вращения направлена в направлении вектора .