Действительные функции одного переменного

Глава 1. Действительные функции одного переменного.

1.1. Основные понятия и определения.

1°. Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D;     2) множества T, содержащего область значений E; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T.

2°. Для функций действительного переменного их области определения D и области значений E принадлежат множеству действительных чисел R.  Если обозначить функцию символом f, а элементы D и E- символами x и y , то функция f сопоставляет по определенному правилу каждому элементу  единственное значение , что записывается в виде:

                                                   или   .

По традиции x называют независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной — функцией. Иногда функцию обозначают тем же символом, что и значение и пишут y=y(x).

3°. Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический;  3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.

4°. Функция определена для , если значение f(x) конечное и вещественное. Множество значений x, для которых функция определена, образует область определения (область существования) . В простейших случаях D есть открытый промежуток (интервал) (a;b): a < x < b, или полуоткрытые промежутки [a,b): a £ x < b, (a,b]: a < x £ b, или закрытый промежуток (отрезок, сегмент) [a,b]: a £ x £ b, где a и b- некоторые числа или символы -¥  и + ¥ (в последних случаях равенства исключаются). Если функция задана аналитически и об области определения ничего не сказано, то ее считают множеством всех чисел, при которых формула, задающая значение функции, имеет смысл и называют естественной областью определения функции D(f).

5°. Множество всех значений, которые функция принимает на элементах своей области определения, есть область значений .

6°. Считая, что x - некоторая точка М числовой оси, а соответствующее значение y=f(x) – точка другой числовой оси, функцию называют отображением. Тогда точка  - образ точки М, а точка М- прообраз точки .

7^°. Сложная функция. Если функция y=f(u) отображает область определения E в область значений L, а функция u=g(x) отображает свою область определения D в область значений , при этом , тогда сложная функция

                                                             y=f (g(x))                                                       (1.1)

отображает D в L. Запишем иначе: если  и , где , то сложная функция

                                                                                                           (1.2)

Из (1.1) и (1.2) следует      т.е. функция  реализует идею: “ применяй g, затем применяй f  ”.

8^°. Неявная функция. Пусть дано уравнение вида  и пусть существует такое множество X, что для каждого  существует по крайней мере одно число y, удовлетворяющее уравнению . Обозначим одно из таких чисел через  и поставим его в соответствие числу . В результате имеем функцию f , определенную на множестве X и такую, что  для всех . В этом случае говорят, что функция f задается неявно уравнением . Уравнение  может задавать не одну, а некоторое множество неявно заданных функций.

9^°.Основные элементарные функции: постоянная y = C (C – const); степенная ; показательная   (a > 0); логарифмическая , (a > 0, ); тригонометрические , ; обратные тригонометрические , , .

10^°. Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.

11^°. Классы элементарных функций.1) Целые рациональные функции:  ,  . Сумма, разность и произведение целых рациональных функций есть целая рациональная функция.

2) Дробные рациональные функции: .

Заметим, что класс целых рациональных функций содержится в классе дробных рациональных функций.

3) Алгебраические функции: между y и x существует зависимость вида

, где -многочлены относительно x; при этом y удовлетворяет определенным требованиям. Классы 1), 2) содержатся в классе алгебраических функций.

4)Трансцендентные функции – это всякие функции, не являющиеся алгебраическими. Можно показать, что  показательная, логарифмическая, прямые и обратные тригонометрические функции являются трансцендентными.

Пример. Определить область определения   функций:

а) ;  б) .

Ñ а) Так как функция arcsinx определена при , а функция lgx – при x>0, то x должен удовлетворять нескольким условиям одновременно, т.е.  получается пересечением множеств: