Вторая теорема разложения. Приложения операционного исчисления, страница 2

Запишем решение задачи Коши:

.

          Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

.

          Решение. В операционной форме имеем , откуда . Для перехода от изображения к оригиналу применим вторую теорему разложения. Корни знаменателя : , - (простые); ,   - двукратные. На основании формул (2.3) и (2.6) можно записать:  , где обозначено . По формуле (2.4) , где ; ;   . Таким образом, . Имеем далее,  

 и, следовательно,

.Если считать величины  произвольными постоянными, то найденное решение будет общим решением уравнения (3.1).

          Пример 3. Найти общее решение уравнения , а также частное решение его, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

          Решение. Запишем исходное дифференциальное уравнение в операционной форме, полагая, что  - произвольные величины. Так как , то операционное уравнение примет вид:  .   Отсюда найдем   .  Представив X(p) в виде     ;  по таблице изображений находим решение: .  Подставляя в него заданные начальные условия, определяя произвольные постоянные , получим частное решение: .

          Пример 4. Проинтегрировать уравнение  при нулевых начальных условиях, если

                               

          Решение. Запишем  с помощью единичной функции Хевисайда:

                    

                           .

По теореме запаздывания (1.11) отсюда находим

                                   .

При нулевых начальных условиях приходим к определенному уравнению:

, из которого после несложных преобразований находим: . Так как , то, снова применяя теорему запаздывания, найдем

     ,

или в обычной форме

                    

В некоторых случаях – опустим подробности – операционным методом удается решить линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, являющимися некоторыми многочленами от t. Приведем пример.

          Пример 5. Найти общее решение уравнения .

          Решение. Пусть . Тогда ,   ,  .   Исходное уравнение принимает вид:    или . Интегрируя это уравнение как линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно , найдем , откуда  есть решение исходного уравнения.

          Приведем еще пример решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом.

          Пример 6. Решить уравнение , .

          Решение. Переходя к изображениям, получим ,

откуда . Для  получаем:  .

17.3.2. Интеграл Дюамеля.  Решение систем линейных

            дифференциальных уравнений операционным методом

1°. Интеграл Дюамеля. Пусть требуется решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка (3.1) при нулевых начальных условиях. Допустим, что известно решение  уравнения (3.1) с правой частью, равной единице и нулевых начальных условиях. Тогда решение  уравнения (3.1) при нулевых начальных условиях и произвольной правой частью  определяется формулой Дюамеля (1.15):

                                      .                                           (3.3)

Пример 1. Решить уравнение  при нулевых начальных условиях.

          Решение. Решим вспомогательную задачу: , . Применяя операционный метод, находим , откуда  . По формуле (3.3)  .

2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом производится по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения. Ввиду отсутствия принципиальных моментов, ограничимся лишь примером.

          Пример 2. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений   при начальных условиях ,  .

Решение.  Операционная система имеет вид

                                                 

Ее решение получим с помощью определителей (по правилу Крамера):

                    ;      .   

По второй теореме разложения находим оригиналы

                   ;   .