Реакции в односторонней связи

         Определить реакции опор А и В, усилия во внутренних двусторонних связях С и D, и усилия в односторонних связях Е и F составной конструкции, изображённой на рисунке (размеры - в метрах).

   Дано:                                                                

Р₁=9 кН,

Р₂=10 кН,

М=12 кН∙м,

q=1 кН/м.        

                  Решение:

        1. По условию задачи при заданной схеме нагружения конструкции реакция возникает только в одной из односторонних связей Е или F. Предположим вначале, что в односторонней связи Е возникает реакция, а реакция связи F равна нулю.

   Конструкция состоит из трех твёрдых тел CD, NDBK и AFEC, которые соединены между собой внутренними связями. Рассмотрим равновесие каждого из этих тел отдельно. Для каждого тела будем составлять два уравнения проекции и одно уравнение моментов.

      2. Расчленим конструкцию. На рисунках 1, 2 и 3 показаны силы, действующие на тела CD, NDBK, AFEC соответственно. Внутренними связями являются связи С, D и Е . Реакции этих связей связаны соотношениями:XC=X^/C, YC=Y^/C, XD=X^/D, YD=Y^/D, RE=R^/E.

   Действие распределенных сил заменим действием сосредоточенной силы

Q=q∙5=1∙5=5 кН. Направление силы Q и точка её приложения показаны на рисунке 3.

Рис.1                                                                                     Рис. 2

Рис.3

        3. Составим уравнения равновесия тел CD, NDBK и AFEC. Предполагая, что ось Ох направлена горизонтально вправо, а ось Оу – вертикально вверх, запишем для каждого из указанных тел уравнения проекции на ось Ох, уравнения проекции на ось Оу и уравнения моментов относительно некоторой точки. Учитывая соотношения, для тела СD получаем:

ΣХ_К=0; ХC + ХD + P₁=0,

ΣY_К=0; YC + YD =0,

ΣМ_КC=0; 5XD – 5YD + 7 P₁ + М =0.

   Для тела NDBK:

ΣХ_К=0;     XB – XD + RE=0,

ΣY_К=0;      YB - YD =0,

ΣМ_КK=0;   2XB- 4XD  =0.

   Для тела AFEC:

ΣХ_К=0; - ХC + XA - RE - P₂∙sin30⁰ =0,

ΣY_К=0; YA – YC – Q – P₂∙cos30⁰ =0,

ΣМ_КC=0;  9XA - 5YA – RE + 2.5Q – 5P₂∙sin30⁰ =0.

   Перенося свободные члены полученных уравнений в правые части и приводя необходимые вычисления, получаем систему девяти уравнений относительно девяти неизвестных XA, YA, XC, YC, XD, YD, XB, YB, RE:

 ХC + ХD = -9

   YC + YD =0

   5XD – 5YD = -75

    XB – XD + RE=0

    YB - YD =0,

   2XB - 4XD  =0

    ХA – XC - RE =5

   YA – YC =13,66

  9XA – 5YA - RE =12,5

            При составлении системы все вычисления производились с точностью до трех знаков после запятой.

       4. Запишем в матричной форме систему уравнений равновесия для случая, когда возникает реакция в односторонней связи Е:

 А₁Х₁=В₁

                            XA   YA    XC    YC     XD    YD    XB    YB     RE

           А₁=

Х₁={XA,YA,XC,YC,XD,YD,XB,YB,RE}^Т