Оцінка локальної похибки і організація обчислень, страница 5

Знайдемо значення х(0,5) і y(0,5).

Отримані значення з точністю  10~⁶

збігаються з точними значеннями x^*(0.5)=0.961213 і y^*(0.5)=-0.000480847

 наведеними в табл.10.3.

Розробники пакета Mathematica передбачили в разі використання стандарт­ного оператора NDSolve можливість автоматичного переходу від явних методів Адамса (від першого до дванадцятого порядку) до неявних методів BDF (від першого до п'ятого порядку) і навпаки. Це досягається за допомогою оператора NDSolve без вказівки на необхідний метод чи введенням у формат оператора оп­ції Method -> Automatic. Тобто під час виконання оператора NDSolve відповідна програма, яка досить велика (на мові Mathematica вона містила б кілька тисяч рядків коду!) спочатку аналізує жорсткість задачі, а потім на основі оцінки жорсткості приймається рішення щодо використання явного чи неявного мето­ду. Значення кроку і порядок методу змінюється, виходячи з умови забезпечен­ня потрібної точності (див. підрозділ 10.8). Результати обчислень зі змінними кроком і порядком потім використовуються для побудови інтерполяційного по­лінома Лагранжа чи Ерміта (оператор InterpolatingFunction), за допомогою яко­го будуються відповідні таблиці та графіки.

Однак спільні явно-неявні процедури, розглянуті в підрозділі 10.9, під час розв'язання однієї й тієї ж самої задачі в пакеті Mathematica поки що не реалі­зовані.

Висновки

1. Моделями широкосмугових імпульсних систем є переважно жорсткі систе­ми диференціальних рівнянь, шо визначає для їх розв'язання пріоритетне використання неявних методів.

2. Серед існуючих неявних методів найбільш ефективними з погляду мініміза­ції кількості кроків на заданому інтервалі (і як наслідок зменшення обсягу обчислень) є неявні методи змінного порядку і змінного кроку BDF і Гіра, які зберігають стійкість до шостого порядку включно. Ці методи передбача­ють зміну коефіцієнтів формул після кожної зміни значення кроку чи по­рядку методу. Процедура зміни порядку і кроку за заданими користувачем загальною похибкою і загальним часом обчислення у таких методах вико­нується автоматично.

3. Автоматична процедура вибору порядку методу і кроку враховує неоднаковий ступінь стійкості неявних методів різного порядку, яка залежить від А -стій­кості, властивої неявним методам першого і другого порядків, і Л(а)-стійкості, характерної для методів третього-шостого порядків.

4. Для моделювання автоколивальних систем зі змінною частотою, в яких власні значення матриць Якобі розташовані на уявній осі комплексної пло­щини, рекомендується використовувати неявні методи першого і другого порядків, області стійкості яких включають уявну вісь.

5. Можлива модифікація автоматичної процедури зміни кроку і порядку мето­ду, яка передбачає використання методів з постійними коефіцієнтами, але з обов'язковим перерахунком інтерполяційних поліномів, побудованим на основі збережених значень коефіцієнтів.

6. Під час розв'язання жорстких задач перспективним є використання явно-не­явних процедур, які забезпечують автоматичний перехід від явного методу до неявного (і навпаки), в залежності від поточних результатів обчислень.

Контрольнізапитаннятазавдання

1. Розв'яжіть неявним методом Гіра третього порядку (10.19) рівняння

2.   яке було розв'язане раніше, в прикладі 10.1, неявним

методом Ейлера. Необхідно, як і раніше, з кроком  знайти значення y(0,2).

2. Найдіть  умови  стійкості  формули  наближення  методу  середньої  точки
 для випадку

3.      Визначіть, чи є серед наведених різницевих рівнянь такі, що забезпечують
стійкі розв'язки: