Метод найменших квадратів (Лабораторна робота № 5)

Страницы работы

9 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

Кафедра інформатики

Лабораторна робота №5

з дисципліни

«Чисельні методи»

на тему:

«Метод найменших квадратів»

Варіант 10

Підготував

студент ІН-91

Приходько М. С.

Перевірила

Назаренко Л.Д.

Суми 2011

1.  Умова задачі:

 Аналітичний опис результатів 9експериментів, у кожному з яких на вхід системи подається значення параметра Х, а на виході реєструється реакція У.

1 Вибрати вид функції.

2 Методом найменших квадратів знайти коефіцієнти.

2

X

0,75  0,78   0,83  0,88  0,93  0,98  1,03  1,21  1,45

Y

10     32,5    47,7  46,1    90   91    95,6   98,2  102

2.  Математичне обґрунтування та вибір алгоритму розв’язання задачі

За результатами n експериментів необхідно одержати залежність , що може показати,як у середньому y залежить від x. Таке рівняння називають рівнянням регресії.

Потрібно підібрати таку аналітичну залежність у= ,яка якнайкраще в умовах якогось заданого критерію описувала б отримані результати.

При розв'язанні даної задачі найбільшого поширення набув метод найменших квадратів (МНК). Цим методом підбирається таке рівняння y= , при якому сума квадратів відхилень експериментальных значень від розрахункових , отриманих після підстановки x=x у це рівняння, набувала б мінімального значення. Аналітично ця вимога має вигляд

Припустимо відомо ,що між x і y існує лінійна залежність y= Невідомі коефіцієнти  знайдемо з необхідної умови екстремуму функції

.

У результаті одержимо два рівняння:

Розв’язуючи систему ,знаходимо a і b , що при заданому вигляді рівняння регресії забезпечують мінімум S :

a= ,

b=

Вибір вигляду регресійної залежності можна здійснити за таблицею. Для цього за вихідними даними обчислюють середні значення хср та уср :

,

    .

 Величина обчислюється так:

1) якщо  збігається з одним із вихідних , то ;

2) якщо  знаходиться між  і ,  знаходимо як ординату відповідної точки на відрізку прямої, що з'єднує вузли  і , за формулою

.

Вибір рівняння регресії здійснюється шляхом пошуку мінімального значення виразу  і відповідної йому функції, використовуючи таблицю:

N

   Вигляд  функції

1

X(ар)

 Y(ар)

у=а0+a1x

2

X(га)

Y(ар)

y=a0+a1lnx

3

X(ге)

Y(ар)

у=а01/x

4

X(ар)

Y(ге)

y=a0a1x

5

X(ге)

Y(ге)

y=a0xa1

6

X(га)

Y(ге)

y=exp(a0+a1/x)

7

X(ар)

Y(га)

y=1/(a0+a1x)

8

X(ге)

Y(га)

y=1/(a0+a1lnx)

9

X(га)

Y(га)

y=x/(a0+a1x)

Обчислимо середні значення хср та уср за наведеними вище формулами:

x(ар)

х(гарм)

х(геом)

y(ар)

y(гарм)

y(геом)

0,98

0,943473

0,9617147

68,122222

39,827739

56,21336

Визначимо рівень регресії, як показано в таблиці 1:

Номер п/п

Вигляд функції

1

0,982222

68,12222

91,20444

0,253082208

у=а0+a1x

2

0,961715

68,12222

90,63429

0,248383594

y=a0+a1lnx

3

0,943473

68,12222

90,26947

0,24534592

у=а01/x

4

0,982222

56,21336

91,20444

0,383655441

y=a0a1x

5

0,961715

56,21336

90,63429

0,379778219

y=a0xa1

6

0,943473

56,21336

90,26947

0,37727158

y=exp(a0+a1/x)

7

0,982222

39,82774

91,20444

0,563313617

y=1/(a0+a1x)

8

0,961715

39,82774

90,63429

0,560566566

y=1/(a0+a1lnx)

9

0,943473

39,82774

90,26947

0,558790587

y=x/(a0+a1x)

Очевидно, що рівняння регресії матиме вигляд y=a0+a1lnx.Оскільки функція нелінійна, потрібно її лінеаризувати. Запишемо її у вигляді y=a0+a1k., k=lnx. Знайдемо коефіцієнти а0, a1 апроксимуючої функції за формулами:

a1= , a1=-144,855

94

a0  = ,  a0  =221,656

Отже апроксимуюча функція матиме вигляд у=221,656-144,855/x

Апроксимуюча та базова функції :

2. Програмна реалізація:

#include<stdio.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

#define N 9

float A1 (float x[N],float y[N])

{

float sumxy=0, sumx=0,sumy=0,sumx2=0,a1;

int i;

for (i=0;i<N;i++)

 {

              sumxy+=(x[i]*y[i]);

              sumx+=x[i];

              sumy+=y[i];

              sumx2+=(x[i]*x[i]);

 }

              a1=(sumxy-(1.0/N)*sumx*sumy)/(sumx2-(1.0/N)*sumx*sumx);

return a1;

}

float A0(float x[N],float y[N],float a1)

{

float sumx=0,sumy=0,a0;

int i;

for (i=0;i<N;i++)

 {

              sumx+=x[i];

              sumy+=y[i];

 }

              a0=(1.0/N)*(sumy-a1*sumx);

return a0;

}

void main()

{

float x[N], y[N],my[N], lx[N], ly[N], x1[N], y1[N];

float min, a0, a1,xar=0,xga=0,xge=1,yar=0,yga=0,yge=1,yy;

int i,k=0;

FILE *p2, *p3;

clrscr();

p2=fopen("znx.txt","r");

p3=fopen("zny.txt","r");

for(i=0;i<N;i++)

 {

                            fscanf(p2,"%f", &x[i]);

                            fscanf(p3,"%f ",&y[i]);

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
392 Kb
Скачали:
0