Некоторые общематематические понятия и обозначения. Логическая символика. Множество. Понятие функции, страница 3

Примеры. Равенство чисел или множеств, параллельность прямых или плоскостей, перпендикулярность их, неравенство чисел или множеств, сонаправленность векторов. (U=, U||, U^, U¹, U­­).

n-арным (n-местным) отношением называется подмножество декартова произведения n множеств.

При n=3 говорят "тернарное отношение".

Определение. Бинарное отношение Uf Ì Х´У называется однозначным по второй координате, если

((х; у1)ÎUf Ù (х; у2)ÎUf) Þ у12,

то есть в Uf нет разных упорядоченных пар с одинаковыми первыми координатами. Иначе говоря, вторые координаты однозначно определяются заданием первых координат.

Бинарное отношение Uf = {(x; x2): xÎR}, связанное с возведением в квадрат, однозначно по второй координате.

Бинарное отношение Uf = {(x2; x): xÎR} не является однозначным по второй координате, так как (4; 2) Î Uf, (4; –2) Î Uf, однако 2≠–2.

Бинарное отношение Uf = {(x2; x): xÎR0} уже однозначно по второй координате.

4.5. Функции.

Определение. Функцией (отображением) f называется бинарное отношение Uf Ì Х´У, однозначное по второй координате. Множество D(f) := {xÎX: $ yÎY такой, что (х; у)Î Uf.} называется множеством задания (областью задания, областью определения) функции f. Множество E(f) := {yÎY: $ xÎX (x; y)ÎUf} – множество значений.

Таким образом, функция – бинарное отношение, никакие два различных элемента которого не имеют одинаковых первых координат.

Бинарное отношение Uf={(Толстой; Шолохов), (Хемингуэй; Шолохов), (4; 5)} есть функция.

D(f)={Толстой, Хемингуэй, 4}, E(f)={Шолохов, 5}.

Бинарное отношение Uf={(4; 2), (4; –2), (9, 3)} – не функция, так как  разные упорядоченные пары имеют одинаковые первые координаты.

Бинарное отношение Uf={(х; х2): хÎR} – функция, поскольку х12 Þ х1222.

Для функций f – бинарного отношения частного вида – вместо записи xfy употребляют обозначение х ® f(x) (читается: "х переходит в f(x)") или y=f(x).

Элемент f(x)ÎY называется образом элемента хÎХ при отображении f, а хÎХ – прообразом элемента f(х)ÎУ при отображении f.

Из определения равенства множеств и определения функции следует, что две функции f и g равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов:

f=g Û (D(f)=D(g) и "xÎD(f) f(x)=g(x))

Примеры.

1) f={(x; x2): xÎ[0; 1]}, g={(x; x2): xÎ[0; 2]}. f≠g, так как D(f)≠D(g)

2) f={(x; x2–4x+3): xÎ{2; 4}}; g={(x; 2x–5): xÎ{2; 4}}. f=g.

Из школы известны три способа задания функции:

а) табличный (перечисление пар);

б) графический;

в) с помощью формулы (аналитический).

Как видно из предыдущих примеров, при задании f посредством формулы следует указывать множество задания D(f). В тех случаях, когда это не сделано, под D(f) понимают самое широкое множество, состоящее из тех элементов х, для которых выполнены указанные в формуле операции. Вообще говоря, D(f) находится неоднозначно в следующем смысле: для школьника функция у=1/х имеет множеством задания D(f)=R\{0}. При знакомстве с множеством С комплексных чисел естественно считать множеством задания функции у=1/х D(f)=C\{0} – проколотую в начале координат комплексную плоскость.

Введенные понятия позволяют уточнить наши представления о решении уравнений. Привычное для многих соотношение f(x)g(x)=0 Û (f(x)=0)Ù(g(x)=0) является неверным. Для формулировки более точного соотношения между корнями указанных уравнений обозначим через K(f) корни уравнения f(x)=0. Тогда

K(fg)=(K(f)ÇD(g))È(K(g)ÇD(f)).

4.6. Биекции.

Определение. Функция f называется биекцией Х на У, если каждый элемент уÎУ является образом при отображении f некоторого, и притом единственного, элемента хÎХ.

"уÎУ $!хÎХ у=f(x).

Более детальное определение биекции:

Определение. Функция f называется биекцией Х на У, если,

во-первых, разные элементы множества Х переходят в разные элементы множества У:

1ÎХ "х2ÎХ (х1≠х2Þf(х1)≠f(х2))

(при выполнении этого свойства функция f называется инъекцией или взаимно-однозначным отображением);

во-вторых, каждый элемент из У является образом при отображении f, по крайней мере, одного элемента из Х:

"уÎУ $хÎХ у=f(x)

(при выполнении этого свойства функция f называется сюръекцией или отображением "на").

Таким образом, функция f является биекцией, если она одновременно является и инъекцией, и сюръекцией.

Пример. Функция х ® x2, хÎ[–1; 1], не является биекцией, так как она разные элементы –1 и +1 из X=[–1; 1] переводит в один элемент +1 из У=[0; 1]. В то же время, функция х ® x2, хÎ[0; 1] есть биекция.

Дополнение к параграфу:

Виды определений:

1) По схеме Аристотеля: путем указания ближайшего рода и видового отличия.

Пример. Функцией называется бинарное отношение, однозначное по второй координате. Здесь "бинарное отношение" – ближайший род; "однородное по второй координате" – видовое отличие.

2) Прямые и описательные определения.

Пример прямого: упорядоченной парой называется множество {a; {a; b}}.

Примеры описательных определений.

а) D(f)={xÎX: $ yÎY (х; у)Î Uf.}.

б) Аксиоматическое определение множества действительных чисел.