Электростатика диэлектриков. Теорема единственности для решения граничных задач электростатики диэлектриков. Потенциал точечного заряда в присутствии диэлектрического полупространства, страница 2

Далее, предполагаем, что поле в диэлектрике будет таким же как и поле дополнительного фиктивного заряда  в неограниченном диэлектрике (без вакуумного полупространства) и расположенном в точке  (это точка расположения реального заряда). На Рис. 6.2  и  - это точки наблюдения соответственно в вакууме и в диэлектрике. Итак, предполагаем, что потенциалы  и  в вакууме и диэлектрике определяются формулами

                        ,                 .

В этих соотношениях имеются два неизвестных параметра  и .Потенциалы  и  удовлетворяют уравнениям электростатики. Эти представления будут давать решение задачи, если выполняются граничные условия на поверхности диэлектрика. С этой целью подбираются величины пока еще произвольных двух констант  и . Непрерывность тангенциальной составляющей электрического поля эквивалентна непрерывности потенциала. На границе раздела точки  и  совпадают и . Непрерывность потенциала обеспечивается выполнением условия

                                                            .                        (6.7)

            Второе граничное условие это непрерывность нормальной составляющей вектора электрической индукции . Для вектора электрической индукции в двух полупространствах можно получить представления

                                    ,               .

На границе диэлектрика  и из условия  получаем

                                                            .                             (6.8)

Из условий (6.7) и (6.8) находим искомые величины

                                    ,                       .

Теорема единственности обеспечивает истинность построенного решения.

6.3. Диэлектрический шар в однородном электрическом поле. Рассмотрим задачу о модификации однородного электростатического поля  (Рис. 6.3) в которое помещается диэлектрический шар радиуса  с диэлектрической проницаемостью . Проницаемость окружающей среды . При внесении диэлектрического объекта в однородное поле, поле внутри его, вообще говоря, становится неоднородным. В этом отношении данная задача является «экзотической» - будет показано, что поле внутри диэлектрического шара окажется однородным. Введем сферическую систему координат, полярная ось которой проходит через центр шара по направлению поля .Очевидно, что задача обладает осевой симметрией, ее решение не зависит от азимутального угла. Потенциал во внешней среде будем искать в виде суперпозиции

                                                ,

где  - потенциал постоянного внешнего поля,  - потенциал, создаваемый шаром. Потенциал внутри шара обозначим . Свободные заряды в диэлектриках отсутствуют, поэтому потенциалы  и  удовлетворяют однородному уравнению Пуассона. Общее решение этого уравнения можно представить (см. раздел 5.8. «Метод разделения переменных») в виде разложения по полиномам Лежандра

            ,                     .

Потенциалы  и  должны удовлетворять условиям конечности их величин:

 конечно при ,  конечно при . Это обеспечивается при . Получаем представления

                        ,

                        .

На поверхности шара при  эти потенциалы должны удовлетворять условиям

                        ,

вытекающим из граничных условий для  и . Приходим к уравнениям

.           ,            ,

из которых в силу ортогональности полиномов Лежандра будем иметь систему двух уравнений для определения  и

                                           .              (6.9)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что эта система благодаря ортогональности полиномов Лежандра,имеет ненулевое решение только при одном значении  и (6.9) и принимает вид

                        ,                   .

Решение этой системы дает

                                    ,                   .

В результате потенциал , описывающий возмущающее действие диэлектрического шара в области  имеет вид потенциала диполя, помещенного в центр шара

                                    ,

где

                                    .

Для потенциала внутри шара имеем

                                   

и электрическое поле внутри шара представляется в виде

                                    .

Таким образом, если в однородное поле вносится диэлектрический шар, то поле в нем однородно и отличается от внешнего поля в  раз. Возникает вопрос: при каких еще формах диэлектрика соблюдается это свойство? Оказывается, что это будет для диэлектрика в форме эллипсоида и бесконечного цилиндра, ось которого направлена вдоль внешнего поля. В отличие от , поле  не зависит от размера диэлектрического шара. При  имеем .