Генераторы. Генератор пилообразных импульсов. Генератор гармонических колебаний с обратной связью. Метод фазовой плоскости, страница 5

С ростом амплитуды колебаний,  уменьшается, стремясь к нулю. Значит рост амплитуды будет замедляться, пока не прекратится совсем. При этом  и  обратятся в ноль. Следовательно, условие  и определяет установившееся значение амплитуды , которое не зависит от начальных условий. Заметим, что в процессе установления амплитуды, частота . Конкретный закон изменения амплитуды определяется характером нелинейной зависимости  (она должна быть задана).

Для получения аналитического решения нелинейного уравнения часто используется квадратичная апроксимация средней крутизны. , что даёт , где . Таким образом, уже в этих выражениях фигурирует установившееся значение амплитуды . Если нас интересует именно оно, то уравнение можно не решать. Подставляя написанное выражение для  в нелинейное уравнение, мы получим хорошо изученное уравнение Бернулли.

Для генераторов, работающих в непрерывном режиме, конкретный закон установления амплитуды нас мало интересует. Важно, что амплитуда установится. В импульсных генераторах стараются уменьшить время установления. Для этого делают контур с меньшей добротностью и обеспечивают такую положительную обратную связь, чтобы . Тогда в контур будет поступать энергии значительно больше, чем нужно для компенсации потерь, и колебания будут нарастать быстрее.

В генераторах с колебательным контуром ток через транзистор обычно не синусоидален (особенно в мощных генераторах). Тем не менее, напряжение на колебательном контуре близко к синусоидальнему, поскольку сам контур отфильтровывает гармоники напряжения.

7.4. Метод фазовой плоскости.

Это один из методов, в основном, качественного анализа процессов в нелинейных цепях с несколько других позиций. До сих пор мы использовали естественный подход и анализировали качественную картину развития процессов во времени. В методе фазовой плоскости время явно не фигурирует. Рассмотрим идею метода очень коротко.

Фазовая плоскость есть плоскость, координатами которой выступают переменная и её производная по времени, например, перемещение и скорость. В теории цепей чаще всего в качестве координат выступают напряжение  (или ток) и её производная . Каждая точка фазовой плоскости отображает определённое состояние цепи. Непрерывная совокупность точек даёт линию, фазовую траекторию. Приведём несколько типичных примеров процессов. Фазовые траектории этих процессов изображены на рис. 7.16. Цифры у траекторий соответствуют номеру примера, а стрелка указывает направление движения точки.

1. . На фазовой плоскости имеем точку,  на оси .

2. . Фазовая траектория есть линия, параллельная оси .

3. . Экспоненциальный процесс, например, разряд конденсатора (). Фазовая траектория есть прямая линия, проходящая через начало координат. Точка в начале координат называется узлом.

4. . Процесс заряда конденсатора через сопротивление. Фазовая траектория при  представляет отрезок прямой. Конечная точка отрезка () отражает устойчивое состояние равновесия.

5. . Колебательный гармонический процесс. Фазовая траектория есть эллипс. Траектория замкнута, поскольку процесс периодический. Точка в начале координат называется центром.

6. . Гармонический процесс с переменной амплитудой, нарастающей () и убывающей (). Амплитуда меняется медленно, если . Фазовые траектории образуют логарифмические спирали. Точка в начале координат называется фокусом. Если , то фокус неустойчивый, спираль раскручивается. В противном случае мы имеем устойчивый фокус, спираль свёртывается.

Отметим некоторые общие свойства фазовых траекторий, отражающие тенденцию развития процессов. В верхней полуплоскости  и напряжение растёт. Поэтому точка, изображающая состояние системы, движется направо по траектории. В нижней полуплоскости – наоборот.

Точки траекторий, в которых , отображают возможные состояния равновесия. Однако это условие лишь необходимое, но не достаточное, что иллюстрируют приведённые примеры фазовых траекторий. На рис. 7.17 приведены участки фазовых траекторий вблизи устойчивого и неустойчивого узла. Устойчивое равновесие получается тогда, когда .